Analisi 1 - 3-6 Limiti di successione e di funzione, continuità e studio di funzioni

Limiti e continuità

Successione

Successione, ∈ ℕ   Fissato, si dice successione:

1. = 1/() → () ∈ ℕ
2. = 1/

Il limite

Il limite (per le successioni) per abbastanza grande ∈ ℝ ≠ ±∞ torno a cui la successione si assesta

1. → +∞ → ±∞
2. ±∞ → ℓ
3. lim_→±∞ (−1) =

[...] = ℓ − ℓ < ℓ ± ℓ < < ℓ − ℓ < ∀ ≥ ℕ ⇔ ∉ ℓ ± ∀ t[...]

Limite ±∞

Data () ≥ ℕ₀

lim_→+∞ = +∞ se ∀ > ℝ ∀ ℕ ∀ ₀ ∃ > ∀ ∀

lim_→+∞ = −∞ se ∀ ∀ ℕ ∃ ℕ ∀ ₀ <

Dim lim_→+∞ > ℓ , > ∀ > ↨

OSS 1. ∀ > 0 ∃ ∈ ℕ | − ℓ| < DEF

DEF: ∃ ∈ ℕ ≥ ℕ₀ |  la proprietà vale >  

OSS 2. piccolo a piacere[...]

OSS 3. lim_→+∞ = lim per progressioni

OSS 4. lim_→+∞ +ℎ₀ = lim no, non conta della definizione di limite

Limiti e continuità

Successione

V_n, n∈IN fissato, si dice successione:

f:ℕ ➝ ℝ funzione

(a_n) m∃ n₀

a_n=1/n

a_n=n

a_n∈{-1,0,1}

Il limite

Il limite (per le successioni) n abbastanza grande l∈ℝ L∈ℝ intorno a cui la successione si assesta

n ➝ +∞ lim_{n ➝ ∞} a_n=L

n ➝ +∞ lim_{n ➝ +∞} a_n=L

lim a_n (n) (n-1) =?

a_n-L_-εε a_n-L_+ε

|a_n-L|N

n ➝ +∞ lim a_n=L

lim_{n ➝ ∞} a_n=L

Limite +∞

Data (a_n) m∃ n₀

lim_{n ➝ +∞} a_n = +∞

lim_{n ➝ +∞} a_n = -∞

Dim lim n ➝ +∞ n>l , n>n₀ per definito

∀ε>0 |a_n-l|n₀ la proprietà vale ∀n>N

∞= ∀ε>0∃N∈ℕ N>n₀|tan-su|N

OSS1: ε piccolo a piacere

OSS2: L grande a piacere con a_n=+∞

OSS3: L piccolo a piacere con a_n=+∞

OSS3: lim_{n ➝ ∞} a_n = lim a_m

OSS4: per progressive

lim a_n ➝ lim_n a_n+h₀ = lim a_u

no manca della definizione di limite

Successione regolare

Successione regolare lim a_n = l ∈ ℝ

Successione irregolare

Successione irregolare lim a_n

Successione divergente

Successione divergente lim a_n = ±∞ (infinito)

Successione convergente

Successione convergente lim a_n = l ∈ ℝ (ε = 0 infinitesima) (finita)

Limiti per eccesso e per difetto

Limiti per eccesso e per difetto

lim a_n = l⁺ lim x eccesso se ∀ ε > 0 ∃ N ∈ ℕ n, ∀ n > N

lim a_n = l^- Lim x difetto se ∀ ε > 0 ∃ N ∈ ℕ l - ε n l, ∀ n > N

Teorema dell'unicità del limite

Teorema dell'unicità del limite se ∃ lim a_n = l (∈ℝ l = ±∞) allora tale limite è unico

Dim suppongo che esistano 2 limiti di a_n l₁ e l₂ l₁, l₂ ∈ ℝ

1. Lim a_n = l₁ ⇔ ∀ ε > 0 ∃ N₁ ∈ ℕ |a_n - l₁| N₁
2. Lim a_n = l₂ ⇔ ∀ ε > 0 ∃ N₂ ∈ ℕ |a_n - l₂| N₂

∀ n > max (N₁, N₂) devono vedere sia 1 che 2

Suppongo l₁ 2 ∀ ε > 0 ε l₂ - l₁/₂

Deve quindi valere anche a_n ∈ [l₂ - ε, l₁ + ε] ∩ [l₂ - ε, ₂ l₂ + ε]

Ma questo insieme è vuoto, perché l₁ + ε 2 - ε ⇔2 ε 2 - l₁ ⇔ l₁ 2 - 2 ε assurdo perché ∀ n > max (N₁, N₂)

a_n dovrebbe stare nell'insieme vuoto ma qui ho degli elementi {a_n dovr