Analisi 1 - 2-6 Funzioni elementari e numeri complessi

Oss

1) Molto spesso si usa f strett. cresc. o f strett. decresc. per dimostrare l'iniettività 2) f iniettive non strett. monotone strett. monotone ⇒ iniettive iniettive ≠ strett. monotone bonus Quando risolviamo diseq. spesso usiamo f strett. monotone es.

3/6x^2 - 5x < 2 ⇔ 3y < 5y ⇔ (f(y) < f(z)) se f strett. cresc.

3/6x^2 - 5x z 2 6x^2 - 5x ₂ 8

Funzioni elementari

Funzioni affini

Funzioni affini (rette - {rette verticali})

y = f(x) = mx + q

m = 0 y = f costante

cresce e decresce contemporaneamente

m ≠ 0 q = 0 y = mx → f lineare

q ≠ 0 y = mx + g → f affine

x₁ < x₂ ⇒ mx₁ < mx₂ ⇒ mx₁ + q < mx₂ + q ⇒ f(x₁) < f(x₂)

m > 0 f strett. cresc.

m > 0 g = mx + q f strett. decresc.

Funzione potenza

Funzione potenza y = f_a(x) = x^a a∈ℝ, x ≠ 0

Diversi casi: a∈ℕ / a∈ℤ a∈ℚ / a∈ℝ

y = f_n(x) = xⁿ n∈ℕ, n>0

per x > 0 f strett. cresc.

• Pari | n pari : xⁿ pari
• Dispari n dispari : xⁿ dispari

f^-1_n(x) = f^-1_n(x): ℤ[0 + ∞ [∁ℚ[0 x])

Funzione inversa tale che n∉ℕ, n≠0 y = f_a(x) = x^a

per invertire devo restringere il dominio

TEOREMA di f dalla radice n-esima ∀x>0 ∃! x ≥ 0 √x = y

Definiamo x = √y ≤ M

"√y è definito come sup di un insieme"

Funzioni pari / dispari

Funzioni pari / dispari

Data f: A⊂ℝ→ℝ, x∈ℚ ha simmetria rispetto a 0 se

f(x) = f(-x) PARI

f(x) = -f(-x) DISPARI

Vede se f(x) ha dominio simmetrico rispetto all'origine

Basta studiare il grafico per x > 0

Oss

1) Molto spesso si usa f strett. cresc. o f strett. decresc. per dimostrare l'iniettività.

f iniettive non strett. monotone.

bonus Quando risolviamo diseq. spesso usiamo f strett. monotone.

es. 3/6x²-5x < 2 ⟺ y₁ < y₂ ⟺ f(y₁) < f(y₂) se f strett. cresc.

f(y)=y³ ⟺ g₁(x) < g₂(x) ⟺ f(g₁(x)) < f(g₂(x)) se f strett. cresc.

3/6x²-5x _2 6x²-5x _8

Funzioni elementari

Funzioni affini

Funzioni affini (rette - {rette verticali})

y=ƒ(x)=mx+q m=0

y=ƒ costante

cresc. e decresc. contemporaneamente

m≠0 gi=0 y=mx linear

g≠0 g=mx+q affine

x₁,x₂ x₁>x₂ ⟹ mx₁>mx₂ ⟹ mx₁+q > mx₂+q ⟹ ƒ(x₁)>ƒ(x₂)

m>0

x₁,x₂ x₁<x₂ ⟹ mx₁<mx₂ ⟹ mx₁+q < mx₂+q ⟹ ƒ(x₁)<ƒ(x₂)

m>0

m<0

m>0 f strett. cresc.

m<0 f strett. decresc.

Funzione potenza

y=ƒₐ(x)=xᵃ a∈ℝ, a≠0

Diversi casi: a∈ℕ / ∈ℤ a∈ℚ \ a∈ℝ

y=ƒₙ(x)=xⁿ n∈ℕ, n≠0

per x>0 è strett. cresc.

• Pari: n pari xⁿ pari
• Dispari: n dispari xⁿ dispari

Funzioni pari / dispari

Funzioni pari / dispari

Data ƒ: A⊂ℝ → ℝ, x ∈ X ha simmetria rispetto a O se

ƒ(x)=[ƒ(x) PARI

ƒ(x)=[-ƒ(x) DISPARI

Vede se ƒ(x) ha dominio simmetria rispetto all'origine

ƒₙ⁻¹(x)=ƒₙ⁻¹(x): |G₀+ ∞| - |G₀∓∞| TEOREMA DI E dalla radice n-esima

Funzione inversa tale che y≥0 ∄ x≥0 y=x

Definiamo x=y√3 G#y=x/y

ƒₙ⁻¹ è definito come sup di un insieme

Potenze con esponente frazionario

2y = x^1/n = x^m/n n ∈ N, n ≠ 0

n. PARI D: R T

n. DISPARI D: R

y = x^1/2 = √x

3y = x^-1/n = 1/x^m n ∈ N, n ≠ 0, x ≠ 0

D: x ≠ 0 ↑ ∫₀ stretto cresc.↓ ∫⁰ stretto decresc.

PARI

DISPARI

Definisco anche L'identico in

8y = f_q(x) = x^q = x^m/n = x^m n√x^m0

q ∈ Q, q ≠ 0, m ∈ Z, n ∈ N, mn ≠ 0 e primi tra loro

Dominio

Dominio

m/n > 0 tipo y = x^m/n

se f. stret. monotona

con m/n = 3/2

allora vale x > a^m/n

• A) m/n = 1 tipo y = x^m
• B) 0 < m/n < 1 tipo y = x^m/n
• C) m/n < 0 tipo y = x^-m/n = 1/x^m/n

Esempi y = x^3/2 pari y = x^5/3 dispari

y = 1/(x) = x^-2 ∀a ∈ ℝ^*\{0}

Dominio:

1 o 2 o 0: ]0, +∞[, x > 0

-2 o x\(4 o a\): ]0, +∞[, x > 0

• |a| > 1 tipo y = x^a
• 0 -aa -a = 1/x^a

Proprietà