Analisi matematica 1

Insiemi numerici e operazioni

Numeri naturali

N insieme numeri naturali; {0; 1; 2; 3; ...}

Operazione: + (somma)

n, m ∈ N → elemento di N

Proprietà della somma

• Associativa: (a+b)+c = a+(b+c) = (c+a)+b
• Commutativa: a+b = b+a
• ∃ elemento neutro 0: a+0 = a
• ∀ a ∈ N ∃ b ∈ N | a+b = 0

Falsa

Numeri relativi

Z numeri relativi; {0; 1; 2; -1; -2; ...}

Valgono le stesse proprietà della somma.

∀ a ∈ Z ∃ -a | a+(-a) = -a+a = 0

Z è un gruppo abeliano rispetto all'inverso: somma un elemento opposto.

Numeri naturali

N insieme numeri naturali: {0; 1; 2; 3; ...}

Operazione: + (somma)

n, m ∈ N

Proprietà della somma

• Associativa: (a+b)+c = a+(b+c) = (a+c)+b
• Commutativa: a+b = b+a
• ∃ elemento neutro 0: a+0 = a
• ∀ a ∈ N ∃ b ∈ N | a+b = 0

Falsa

Numeri relativi

Z numeri relativi: {0; 1; 2; -1; -2; ...}

Valgono le stesse proprietà della somma.

∀ a ∈ Z ∃ -a | a+(-a) = -a+a = 0

Z è un gruppo abeliano rispetto alla salvazione somma con elemento opposto.

Prodotto

a, b → a·b

Proprietà:

• Associativa: (a·b)·c = a(b·c)
• Commutativa: a·b = b·a
• &exists; elemento neutro: θε, a·1 = a
• ∃ inverso? θ ∃ b: a·b = 1 Falso

Insieme numeri razionali

Q: m/n, m e n primi tra loro (non posso semplificare la frazione).

Stesse proprietà del prodotto.

θ ∃ Ø∃ θ^-1

a·θ^-1 = 1, elemento inverso.

Q ha una struttura di campo.

Le operazioni tra gli elementi di Q: (Q, +, ·) è un campo.

• (a+b)+c = a+(b+c), somma associativa
• a+b = b+a, somma commutativa
• ∃ 0 | a+0 = a ∃ Øε Q
• ∃ a·θ^-1 (a+(a) = 0

• 5- a.b = b.a
• 6- (a.b).c = a.(b.c)
• 7- ∃ elemento neutro 1: a.1 = a. a = a
• 8- ∀ a ≠ 0 ∃ a^-1 | a.a^-1 = 1
• 9- Distributiva: (a+b).c = a.c + b.c

Equazioni

x + 3 = 0

Trovare x | l'equazione sia vera.

x = -3

Trovare x | x² + 2x + 1 = 0

(x + 1)² = 0

x = -1

x² - 1 = 0

x² = 1

(x - 1)(x + 1) = 0

x = 1; x = -1

Dimostrazione per assurdo

In Q non trovo soluzione e l² = 2.

IP l ∈ Q

TS & non può essere vero che l² = 2

IP => TS

non TS => non IP => per assurdo

Parte da l ∈ Q | l² = 2

=> l = m/n

(m/n)² = 2 => m² = 2n²

=> m² = m2m + pari => m = pari.

m = fase di dispari ma 2k + 1 => m² = (2k + 1)² = 4k² + 4k + 1 = 2(m² + k)

Se m è pari m=2k => m² = 4k²

u² = m² => u² = m² => n² è pari

m è pari

Numeri reali

R numeri reali.

Strutture decimali infinite e non periodiche.

(R, +, ·) è un campo.

È in corrispondenza biunivoca con i punti della retta, cioè ad ogni x ε R associo uno e uno solo dei punti di una retta e tutti i punti della retta sono associati a un numero reale.

(Proprietà iniettiva) se x ≠ y assegno x e y un punto diverso da quello che assegno a y.

(Proprietà suriettiva) ogni punto della retta è associato a un

Un controesempio è ℚ che non è in corrispondenza biunivoca con la retta.

La retta è comoda per rappresentare ℝ perché è ordinata.

In ℝ posso introdurre una relazione d'ordine che è del tipo a ≤ b per cui valgono le seguenti proprietà:

• Riflessiva, ∀ a, a ≤ a
• Antisimmetrica, se a ≤ b e b ≤ a ⇒ a=b
• Transitiva, ∀ a,b,c se a ≤ b e b ≤ c ⇒ a ≤ c

ℝ è un campo ordinato totalmente ⇓ ∀ a,b ∈ ℝ a ≤ b v b ≤ a

Esempio

Insieme ordinato non totalmente.

X è un insieme.

℘(X) è l'insieme dei sottoinsiemi di X eeo l'insieme delle "parti".

Introduco la relazione d'ordine dell'inclusione.

A: N ⊆ ℘(ℝ) B: ℤ ⊆ ℘(ℝ) P(ℝ)

A ⊆ B ⇒ N ⊆ ℤ

• 1- È riflessiva perché \( A \subseteq A \)
• 2- È antisimmetrica perché \( A \subseteq B, B \subseteq A \Rightarrow A = B \)
• 3- È transitiva perché