Analisi 1 - 1-6 Introduzione allo studio di funzione

Logica e insiemistica

Simboli e terminologia

A/B/X/Y a/b/x/y α p/q/non p/non q ∀ ∃/∄/∃! ":" "/" ⇒ Insiemi Elementi Insieme vuoto Affermazioni Per ogni Esiste/Non esiste/Esiste unico si ha/tale che Implica (p vero → q vera) Equivalenti (p vero se e solo se q vera) Negazioni ∀x ∈ A : p(x) ≡ p ∃x ∈ A : q(x) ≡ q negazione: non p ≡ ∃x ∈ A : non p(x) negazione: non q ≡ ∀x ∈ A : non q(x)

Rappresentazione degli insiemi

ELENCAZIONE PREDICATI GRAFICA A = {1, 2, 3} = {3, 2, 1} A = {1, 2, 3} = {n ∈ IN : 0 ≤ n A = {1, 2, 3} = Insieme delle Parti

Operazioni sugli insiemi

A ⊂ B INCLUSIONE sottoinsiemi propri e impropri ⊚ A ⊂ₚ B INCLUSIONE STRETTA (⊂) sottoinsiemi propri ⊚ A = B UGUAGLIANZA IN = NATURALI = {0,1,2,...,n} Z = INTERI = {0,±1,±2,...,} + n Q = RAZIONALI = {q = m/n, m ∈ Z, n ∈ N, n ≠ 0} R = REALI = {n = m:c, m ∈ Z, d₁ d₂ ∈ {0,...,9}} C = COMPLESSI IN ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C

x + ₀p(x) = {tutti sottoinsiemi di x] ∃ = {∅, x, } A = {1, 2, 3} P(A) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}} A = n → "elementi Jesi" = (P(A) = 2^n → "elementi")

Logica e Teoria degli Insiemi

A/B/X/Y a/b/x/y φ p/q/non p /non q ∀ ∃/∄/∃! ":" "/" ⇒ Per ogni: Esiste/Non esiste/Esiste unico si ha/tale che Implica (p vera => q vera) Equivalenti (p vera se e solo se q vera) Negazione: non p ⇒ ∀x ∈ A : non p(x) Negazione: non q ⇒ ∀x ∈ A : non q(x) A = {1, 2, 3} = {3, 2, 1} A = {1, 2, 3} = {n ∈ ℕ : 0 A = {1, 2, 3} = 1, 2, 3 = 1 2 3 A ⊂ B Insieme A ⊂ B Inclusione stretta (⊆) A = B Uguaglianza IN Naturali 0, 1, 2, ..., n &8484; Interi 0, ±1, ±2, ..., ±n &8474; Razionali {q = m/n, m ∈ &8484;, n ∈ &8469;, n ≠ 0} &8477; Reali {n = m:c, d₁, d₂, d₃, ..., di, ...,} &8450; Complessi &8469; ⊂ &8484; ⊂ &8474; ⊂ &8477; ⊂ &8450; Insieme delle Parti x + φp(x) = {tutti i ⊆ x} A = {1, 2, 3} p(A) = {φ, {1}, {2}, {3}, {1, 2, 3}}

Prodotto cartesiano di insiemi

A × B = {(a, b) : a ∈ A, b ∈ B} A = {1, 2} B = {3, 4} A × B = {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)} IR² = IR x IR corrispondenza biunivoca con i punti di una retta IR³ = IR x IR x IR corrispondenza biunivoca con i punti dello spazio

Operazioni insiemistiche e proprietà

• Unione A ∪ B = {x ∈ X : x ∈ A ∨ x ∈ B}
• Intersezione A ∩ B = {x ∈ X : x ∈ A ∧ x ∈ B}
• Proprietà di indipendenza A ∪ A = A
• Proprietà commutativa A ∪ B = B ∪ A
• Proprietà associativa A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
• Proprietà distributiva A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

Differenza A \ B = {x ∈ A : x ∉ B} Complementare A^c = X \ A Leggi di De Morgan (∪_i=1ⁿ A_i)^c = ∩_i=1ⁿ A_i^c (∩_i=1ⁿ A_i)^c = ∪_i=1ⁿ A_i^c (A ∪ B)^c = A^c ∩ B^c (A ∩ B)^c = A^c ∪ B^c

Dimostrazione

Dimostrazione diretta p ⇒ q p condizione sufficiente per q Dimostrazione indiretta non p ⇒ non q end if p, allora q F Dimostrazione per assurdo p ∧ non q ⇒ assurdo sce q F con p ∨ q ⇒ assurdo

Dimostrazione ∀n ∈ IN, n dispari = p ⇒ n² dispari = q n = 3 n² = 93, 9 dispari n dispari = 2k + 1 n pari = 2k n² = (2k + 1)² = 4k² + 1 + 4k = 2(2k² + 2k) + 1 dispari DIMOSTRAZIONE^viceversa C² = z² ⟹ p ⟹ C_∈/Q qp ⟹ non q (assurdo) c² = (c-c)² ⟶ c = 0 c ⊂ R+ - C_∈/Q - c = ^{m_n n_n ∈ N, m,n ∈ N, m,n primi tra loro} C² = (^m₂ / ^n₂)² = (ⁿ² / ^z_n)² se m₂ pari allora m pari m = 2k(2k)² = n² = 2k² n² pari ⟹ n pari PERÒ m, n primi tra loro ⟹ non possono essere entrambi pari