Algebra 1 (parte 4)

Classi laterali, sottogruppi normali e omomorfismi

SuSu Iu n23213 hI 2Dim UICaja JiitPer generatoèlibasta imostrare che123da n i12 nInduzione lili giilli isui 1 eVPB 42i LPI D GiIiiClilateraliClassi aDef Sia HEG.ge 4egruppoun Gdiil sottoinsiemelaterale Hdice disi sinistroPrime proprietàgogh tgSiano alloraGEi gag i gita pgitt gaitgalt oppureIn formanolaterali sinistriiparticolare Gdiuna partizioneDimg geegh gita gait psupponiamoi e sia e gaitg gianMostriamo che Egilt galtahSia ghe It hggghihi hh getEg g gehanthe ED53

Esempi di laterali

Esempio GH laeEH H e aH 431,11233 123 131231123H 4237,432123 siondatepartizioni 4diVediamo lateraliianche DXHe e 12H 121113 413 13213 443443 42,3 123 MatriciG GLIRIESEMPIO invertibiliH MatriciIR deSL 11A EGAlt Ale matrici dettistessolosono conHA Ale matrici didetstessoloSono conlaterali LateraliDX sxli normalichiameremo sottogruppiie GEDef H di lateraliil finitonumero infinito sioaGdice Hdiindice sinistriinindicasi CAe HProp Esiste biezione lateralitra destriuna e1sinistri laterale ha2 la cardinalitàOgni stessaHdiDim Hggttbenè daldipendepoichénon postarappresentante della diclasse equivalenzadi adg sopraesempio HHAMaH 1231123 H3Poniamo Hggitinveceè ben posta JhH hGah g gg HE'gii benAgi èHg postaE biunivoca 7 laèanche suaItgginversaH ghA biunivocagh corrispondenzaè una

Teorema di Lagrange

Teorema di Lagrange HESe G G finitocon141 IHI HCaIn 43IHI 4 sonoparticolare e divisori141di G formatoDim lateraliCè da H ognunodei 1h1quali elementiha251 CaselliH E G hehghe ghI formanolaterali di 4partizioneunaHanno latutti stessa cardinalitàT Al IHIdi HCaLagrange Che lateralidi lateralealloGOSS Egi stessoappartengonogdi Hit H EHg govvero g gCorollario finitoG alloraGeggruppo141gDim HPoniamo gIHI 01gil dalrisultato disegue teorema LagrangeCaso Euleroditeoremaparticolare adMCDse modaA ElR G talBasta V17considerare pininna Ga finitoèASe gelOss alloraun gruppogia il corollarioperinfattieal K ZK EOigSia omomorfismoG Gy unImu Golgi gea EGKery e4191g aeMostro ImuEsercizio Keryche sonoe sgrC C'è omomorfismoSe ilOss un postoN abbiamoKery IgeaNggiuDim inclusionedoppiagne gneDobbiamo Nche E9mostrare grCioè Ialgng èInfatti il Yy algl.ylgyganlylgqgng ale. kEsempio IRAAn RU omomorfismoè undetA i ilperdi gruppi BinetditeoremaKery Sla R lateraliquindie i suoi DX ecoincidonosx

Sottogruppi normali

Def N diun 4 diceun sisottogruppo gruppoNormale 9N Ng EGtgse Ntal GIn scriviamocasoEquivalentemente chiuso rispetto alNè grigiN normale coniugioil di elemento nelstaconiugato un gruppoèN diovvero Classi diunione coniugioGProblema relazione d'equivalenzacon unaQuando definireè sull'insiemepossibile quozienteE distrutturauna gruppot.c CIxD HAY EGl'unica cheserve benchecosa èmostrare siacioèpostaX XaXYyay Asoddisfaè seDiciamo compatibileche NAGSiaProp laallora relazione1 ENè secompatibile 44 èViceversa d'equivalenzarelse n una compatibilallora IN ENA T.C XNU ASe normaleèconsidero che nonun sgr ottengouna Ill lateralisui benèche non postaNDim Sia G lateraleallo stessoappartenenzaNé sgrunVerifichiamo compatibilitàlaCNX XXIN X NUN 4 44 edobbiamo dimostrare cheEN4,1IXXUXYTUTINI ENYi X XXIXU ENENperché di unconiugato di YIelemento Yi Dan XiNSia rete d'equivalenza2 compatibileunaNPoniamo Classe d'equivalenza di eNche èVerifichiamo un SgrNEC ffà IgpatibilitàENN yE74 É NXEN E n'Efferatixèe N èche normaleVerifichiamoSia N.ge aneIgulginggi egrunge g di tutti elementiContiene coniugati i suoii l'ultimaVerifichiamo condizioneSiano Allorav494XY E NXYN EDInfine Nsia 4 Ee4 EY 94 NXY_ DY XNE

Gruppo quoziente

Esempio diAn è esempioun quozientegruppoN 2G Z e ncon 9finIl Gindicasiquozientegruppo 72Zin NConsideriamo DaGEsempio e 4rVerifichiamo N èche normale brqg.cicheNg vuolgn direnon gu ngIntentothenchesignificama n'ggut'commutaSiccome tutti elementicon Dadigliè normaleNallora ITZPàl aOVI Sr 22 01s I ODaf IssEDe IN NN SrYN Isr7,23 s2Ys.sefer LeG ErarDay 22E 22GEsempio qualsiasigruppoHE diG indice 2HAllora è normaleaget HuHugh Hgè normaleItga HgGGH Hgil Ee quoziente 212elementiha 2

Teorema fondamentale di omomorfismo

Teorema di omomorfismofondamentaleG alloraGSia yTi myGirera èedpostabenèTg3 41g isomorfismoUnNDim Kerybenè postaSupponiamo certonengi perg unnggi algaTgi ulula 91galungi giagiI omomorfismoè algal7119,92 agiTtg agli1923 geElgin IcgÈ suriettivaElmy alal per9 GqualcheD eg 9il suriettivaèg giniettivoT è NTfg 41ge gekeryNquindi legCaselli30111 fondamentaleteorema omomorfismisugliG G omomorfismo4 ItAllora ImuGarag i 9191È