Algebra 1 (parte 3)

Sia aLemma

Sia aLemma Geun gruppo galloraseG ha chesi haallorase si chemod nelparticolare neutroinDim ovviag diSia gb spaga senzgneraffratitabassumerepossiamo a l'ordine èga poichéb oae infinitoSPDC 520adividiamo 5 pera nba Oer enguar s ganarga ega eghe 9 minimalità diper2gr og e nè

Classificazione teorema ciclicidi dei gruppi

classificazioneTeorema ciclicidi dei gruppiSia G ciclicoung grupposese letuttelemmaDim il potenze sonopero Adistinte3,93 gigiG gigeg GZSia 4 è isomorfismounKK g Abiezioneè Sìq unaE un'omomorfismoantifurtigugu le dellevero per proprietàg potenzeGV 74m grglemmaPer il G 92,93gi 9egobenV biettiva lemmaèed ilperpostaomomorfismoèV un gkth gk.glUICkthjEVICK IKKIdeg UCLtraSommaClassiQuanti isono generatoriECiLi EDZ i diChi Zinsono generatorihaPer quali simeLa 7in l'ordinese èdiè coprimo con proprione nmn vd lezione precdi elementi2in diuncosì sottogruppoOttengo n7inè tuttoBezóotPer ha MCDse min iamAGIZIA M MCD MIMCD M NI Ha iMCDC minè ZinedigeneratoreLe siclassi sonoche invertibiliancheOss ottengonoCorollario Sia alloraneiESEMPIO N 4 4I EI aQualiDim possibiliordini elementosono per un2ininSono didivisorii vd lezione precedenten cheInfatti abbiamo hannoimostrato sottogruppidivisoreordinetutti di nchiamo ildi mld di 2innumero elementin inordinedi dPARTIZIONEÈ UNAInEsempio 21,2a mld11 12 23 246 2412 Sommati 12gliConsideriamo elementimld adi ordinedidi dordineessi unognuno sottogruppogeneraPer che laabbiamoquello detto scorsavolta iordinecon gli stessidato sonounsottogruppi loil cheè stessoovvero X es dageneratoSgr 3quello dagenerato lezionelaMa precedentedisolo ordine aesiste un sonogruppolotuttiquindi stesso sottogruppogeneranod elementiciclico èdconin isomorfosottogruppo haMa ZiaZiaa quindigeneratoridsostituendo inin

Diedrali gruppi

DiedraliGruppi Hi consideriamo nun agoney regolareDaHa della isometriegruppo mandanodel chepiano séagonel innAbbiamo multipli dirotazionia per angoli pi3 inrotazioneE orariosenso dithDue riri r sa sur si LsimetrieI Du ansgrgilico riflessionecomponendopoiché e unauna riflessionerotazione si unaottienefini sono sottogruppiDa si siri riri ses sarelementiQuesti 2h distintisonosi rt Elrperchéi nper orifarsii antiorariosensosenso orario dei verticidei verticisei_srt ri ririflessioneossi una qualunqueesseresi puòfra possibilile n EaDa raU armiss.rsOss r SEAttenzione vuol direnon A2 esDa ciclicoLE poichéès nessunnon dielemento ordine Dran52 NOSSPer 12212esempioAli hannosono riflessioni ordine 2tuttei.seidai rnesciGN 122 75.2212 D E19222 174LISE DnIl le rgruppo conLess Nregole S N2chiama szidi rn i.seSi presentazione un gruppo9

Gruppo simmetrico

Gruppo simmetrico11 biezionidelleA daSIA gruppo A1AadDébora finitoAconcentriamo sul edcasoci A Suparticolare Schfiin scriveremoin1 Sul RNotazione3 521 4 praticamoltonon532 41Notazione 2a righe 81315dire Ec8121vuol 35 413 a2o 5cal 251512 113 5 4Questa lascrittura è unicanon stessascrivereanchesipermutazione puòE 43 E la modoè ordinata inI lasoloscriverecrescente si può II rigalaottenendo adnotazione 1 rigavirgoleanche senzaO 4,3 5 2,1In due leabbiamoqueste usatonotazioni parentesiquelledistinguerle daquadre con parentepertonde leAvvertenza permutazioni si compongonole fazioni da dxcome sxversoEsempioO T3521 3 4,1e 2,5EE E EE E t L5,23,1 4 5,23,1aplichiprima opoieE5 35,4 2,18 8e 1,2 3,415

Notazione cieli

Notazione cieliOrbite die una permutazioneSia 58E 3,7 8,41,6 E5,2 deve chiudersiil ciclo da dovepartito iniettivitàperèAbbiamo ottenutoÈ partizioneunasferetta5 viene chiamatae ogni neIn le orbitequesto caso 1,35 7,8sono e2,4ordinatisononon osecondoNotazione come diprodotto cicli disgiuntiE 62,75 8 41,3 tendesi scriverloa non 817865 812 7 853 e5O 31 ECGECG 6