Aerodinamica

µ O

6 =

>

①

a

p

se TO

c. t T KELVIN O

< >

-

① a

6=0

FINCHE

055 .

%

Queste osservazioni fisiche più il teorema di Kelvin fanno dedurre quindi che nella regione (a) vicino

al profilo alare di tipo inverso durante la fase di funzionamento ci sarà una vorticità positiva.

In sintesi: v0=0

Nell’istante iniziale dell’avviamento del profilo alare la velocità media è nulla perché e quindi

Si vuole dimostrare che, per Kelvin la circuitazione deve conservarsi nel

anche la circuitazione.

tempo, quindi superata la fase di avviamento, anche nelle successive ovvero in quella di

funzionamento, dovrà essere nulla e con sè anche la vorticità media. Applicando Kelvin

nell’istante di tempo t2 e suddividendo la circuitazione in 3 differenti percorsi, alla fine si ottiene che:

• si ha una zona (c) in cui vi sono delle strutture dotate di vorticità media negativa rilasciate dal

profilo durante la fase di avviamento;

• si ha una zona (b) in cui la vorticità media è nulla per ragioni di simmetria;

• si ha una zona (a) in corrispondenza del profilo alare dove la vorticità media e di conseguenza la

circuitazione deve essere positiva affinché la somma dei tre contributi sia nulla.

CRITICISM TO THE STARTING VORTEX

Esaminando però queste considerazioni si può sviluppare una critica. È stato usato il teorema di

Kelvin il quale tra le ipotesi include che gli effetti viscosi siano trascurabili, ma come già visto, nel

caso di separazione questa ipotesi non può essere fatta in quanto gli effetti viscosi assumono un

ruolo piuttosto importante. Si arriva però alla conclusione che più che il teorema di Kelvin, sarebbe

corretto utilizzare il teorema di Wu il quale assume un dominio di estensione infinita e non contiene

ipotesi dirette riguardo gli effetti viscosi.

LEZIONE 48 // 20/11/2020

SPESSORE DI SPOSTAMENTO - DISPLACEMENT THICKNESS δ*

Lo spessore di spostamento è una distanza da non confondere con lo spessore dello strato limite.

Per misurare δ* si procede con un esperimento dove si parte con un flusso orizzontale indisturbato

Ad un certo punto viene inserita una

caratterizzato da linee di corrente perfettamente orizzontali.

lastra piana orizzontale perfettamente nella direzione del flusso, di conseguenza si formano degli

strati limite, uno per la superficie superiore e uno per l’inferiore della piastra al cui interno il flusso ha

una velocità minore rispetto a quella che aveva prima di incontrare la lastra . Questa differenza di

velocità porta ad una locale diminuzione della portata, che per la legge della conservazione, deve

essere costante e dunque deve essere “recuperata” nelle regioni di fluido in cui non è presente

questa diminuzione di velocità. Questo fa si che le linee di corrente al di fuori dello strato limite

subiscano una deviazione a partire dal leading edge, rispetto all’andamento che avrebbero in

assenza della lastra e la misura di tale deviazione rappresenta lo spessore di spostamento, che è

una funzione di x in quanto il profilo di velocità dello strato limite è a sua volta una funzione di x.

δ*=δ*(x)

Quindi δ* garantisce di recuperare la portata persa (area verde) a causa della presenza della lastra

che costituisce una ostruzione al flusso.

È Linee di corrente orizzontali

Innalzamento delle linee di corrente

Profilo di velocità u=u(y) [in realtà

# dipende anche da x perché il profilo

g

Moo assume una forma diversa al variare

: di questa coordinata)

strato limite

> 99m00

D.

: §•÷*

< E

: - . Velocità persa

00 1

, noo

8=4.9 Blausius : spessore dello strato limite in regime

fa

, laminare

Rex SE

*

8=1.7 18 Spessore di scostamento ottenuto sperimentalmente

= ,

3

Rex

Moo y flx ) 113

i

> 113

#

£ )

( ×

" ,

, ,

t L E

- .

y

y 4=8

Fuoco =/ dy (*) perché il contributo per y>δ è nullo in quanto la

( a)

Moo - portata è stata recuperata tutta e quindi non si ha

4--0

(*) differenza di velocità

!

"

=p dy

( a)

noo -

4--0 ✓

Area della regione verde che rappresenta la portata persa (o 2D

comunque recuperata) per causa della presenza della lastra, dm/dt=cost

che sarebbe una portata volumetrica per unità di lunghezza => dV/dt=cost (m^2/s)

"

' Spessore di

"

" = :|

/

s'

* S dy

dy (*) % scostamento

1-

Io

1-

± (ρ=cost)

4--0

4--0

OSSERVAZIONE

Non ci sarà mai un esperimento che faccia chiaramente vedere una linea che rappresenti il bordo

dello strato limite. Quindi la definizione di bordo dello strato limite è di tipo convenzionale in quanto

dice che lo strato limite finisce quando siamo nel flusso indisturbato, a parte l’1% di errore. Se

dovessimo disegnare le linee di corrente, queste hanno dei percorsi che sono completamente

indipendenti dallo spessore dello strato limite δ(x): una linea di corrente potrebbe essere come

quella blu che da orizzontale poi si solleva a causa dell’ostruzione dello strato limite e passa nel suo

interno; invece è sbagliato pensare che una linea di corrente come quella rossa debba procedere

parallela al bordo dello strato limite come se questo si comportasse da parate solida o

impermeabile. NO

⇐

SI

LEZIONE 49 // 20/11/2020

METODO ITERATIVO DIRETTO - DIRECT ITERATION METHOD

⇐ Strato limite

Siano dati due corpi aerodinamici snelli come una piastra e un profilo alare. Possiamo individuare

la regione esterna allo strato limite (celeste) dove il moto a potenziale è una buona descrizione

della realtà perché non c’è vorticità ed infatti il moto a potenziale è irrotazionale, e la regione dello

Il metodo

strato limite (viola) dove il moto secondo Prandtl è una buona descrizione della realtà.

iterativo vuole quindi cercare di connettere una soluzione del moto a potenziale della regione

esterna del flusso con una soluzione dello strato limite cioè della regione interna del flusso.

Siamo in grado di risolvere separatamente il flusso esterno e il flusso interno. Quindi il problema

che si pone questo metodo iterativo è:

• come il flusso esterno possa tener conto della presenza dello strato limite.

• come lo strato limite possa tener conto della pressione p(y) che secondo Prandtl viene imposta

dall’esterno (in segmenti perpendicolari al corpo la pressione non varia e viene imposta dal flusso

esterno). • • , • Prandtl

D’altra parte, la presenza dello strato limite altera le linee di corrente nel flusso esterno e per cui c’è

anche bisogno di una comunicazione dello strato limite verso l’esterno per tener conto proprio di

quello che è rappresentato dallo spessore di scostamento.

Si deduce che le soluzioni del flusso interno ed esterno devono in qualche modo comunicare.

Quindi risolvendo separatamente il moto a potenziale nel flusso esterno e di Prandt nello strato

limite, queste soluzioni pian piano devono essere rese un’unica soluzione che abbia delle

caratteristiche di continuità delle grandezze per cui si risolve. Ciò può essere fatto in maniera

iterativa dove via via la soluzione su una delle due regioni fornisce dei dati alla soluzione sull’altra

delle due regioni.

Si descrivono le fasi dello schema del metodo iterativo mediante un diagramma di flusso (a).

Il moto a potenziale non rappresenta bene la separazione perché la viscosità non svolge alcun

NB.

ruolo dal punto di vista cinematico. Di conseguenza, l’assenza di viscosità non induce una velocità

nulla a parete che agevola la separazione con un APG.

Per questo motivo il moto a potenziale viene utilizzato per studiare corpi aerodinamici in quanto su di

essi non si ha separazione, mentre se usato su corpi tozzi i risultati sarebbero errati.

Risolvere il moto a potenziale nel flusso esterno (potential flow solution of the external flow) e

•

questa soluzione viene calcolata sul corpo che dev’essere di tipo aerodinamico poiché la

separazione non viene rappresentata bene da questo metodo (vedi il paradosso di D’Alambert) e di

fatto sul corpo aerodinamico non si ha separazione.

• Risolvere il sistema di equazioni di Navier Stokes nello strato limite. Le soluzioni che si ottengono

hanno bisogno delle condizioni a bordo proprio sul bordo dello strato limite che è in grado di

dargliele il flusso esterno. Quindi il secondo passo è quello di utilizzare il campo di pressione e di

velocità dalla soluzione del moto a potenziale del flusso esterno per risolvere le equazioni dello

strato limite, con soluzioni δ,δ* , … (serve anche il campo di velocità perché per trovare quello di

pressione indirettamente si calcola anche quello di velocità).

• Ispessire il corpo di partenza di una quantità pari allo spessore di spostamento e applicare le

equazioni del moto a potenziale su questo corpo ispessito. Tale ispessimento è distribuito su x in

quanto δ*=δ*(x). Ciò serve perché una volta che avremo ispessito il corpo di δ*≈(1/3)δ allora la

soluzione del moto a potenziale potrà tener conto dello spostamento delle linee di corrente per via

della presenza dello strato limite, cosa che non poteva avvenire prima quando si risolveva

semplicemente il moto a potenziale sul corpo.

• Risolvere il flusso del moto a potenziale nel corpo ispessito.

A questo punto avremo due soluzioni del flusso esterno: quella iniziale alla iterazione 0 e quella

corretta alla iterazione 1 che inizia a tener conto della presenza dello strato limite. Si entra così in

una struttura di tipo ipotetico che valuta se la procedura iterativa è andata a convergenza. Se è a

convergenza si terminano le iterazioni e si mostrano i risultati, altrimenti si ritorna al secondo passo

in cui si risolvono le equazioni dello strato limite che tengono conto della soluzione del moto a

potenziale appena ottenuta.

Questa procedura iterativa pian piano da luogo ad un paio di comunicazioni (b).

Abbiamo il flusso esterno che si risolve col moto a potenziale e abbiamo il flusso interno che

si risolve con la teoria dello strato limite. Durante le iterazioni succede che il flusso esterno

fornisce il campo di pressione e il campo di velocità al bordo dello strato limite e il flusso

interno fornisce al flusso esterno via via un corpo lievemente modificato per via dello

spessore di scostamento. La continuità della soluzione del metodo iterativo avviene quindi

attraverso il bordo dello strato limite.

(a) Potential flow solution (PFS) of -

0° iteration the external flow on the

aerodynamic body

n

Use p, from PFS for Risolvo B.L. Attraverso campi di p

solving boundary layer v

e

equation (BLE)

Calculate δ* and thickening of

the original aerodynamic body

PFS of the external flow on the Crea una connessione tra δ e la

1° iteration thickened aerodynamic body by zona esterna

δ*(x) YES

NO Print results

Convergence?

External flow

(b) (potential flow)

.

P δ*

u .

Internal flow

(B.L. Theory)

δ*=δ*(ξ) ξ : coordinata curvilinea

✓

^ aderente al corpo

✓

Thickened body

Original body

Occorre ad un certo punto controllare la convergenza e lo si può fare in molti modi, ad esempio con

un controllo scalare, ovvero possiamo scegliere di verificare volta per volta una grandezza fisica

significativa come il minimo della pressione sulla superficie solida. Tipicamente questo minimo si

registra nella suction side cioè la zona di bassa pressione ed in corrispondenza del primo terzo

della corda del profilo (giallo). La procedura iterativa risulta così essere numerica e si può trovare

iterazione dopo iterazione il minimo di pressione.

n : iteration number h

Pmin

^ Aiax

• Valore corretto di pmin

°

• •

Distanza di Andamento di pmin oscillante attorno

iterazione al valore corretto

• >

n=1

Come si fa a controllare se c’è stata o no la convergenza? Si fissa una soglia ε che definisce un

riferimento alla differenza tra la pressione minima calcolata alla iterazione n meno quella alla n-1.

( )

1h

) -1

n

Pmin Pmw

E = -

Nel caso in cui si lavora con quantità dimensionali allora si ha che ad esempio ε=10 Pa.

Nel caso non dimensionale invece:

6

* Mai (Ad esempio)

-

E 9 d. 10

a =

=

Quindi si controlla che la distanza tra i due valori minimi di pressione calcolate in due differenti

iterazioni successive sia sufficientemente piccola, cioè si controllano le distanze di pressione

segnate in rosso tra la 1° e 2° iterazione, 2° e 3°, … e quando diventano piccole si può dire che il

valore sia andato a convergenza.

Il metodo iterativo è implementato in un software chiamato “x-foil” di Mark Drela.

LEZIONE 50 // 21/11/2020

DIMENSIONI CARATTERISTICHE DI UN CORPO AERODINAMICO E DI UN CORPO TOZZO

corpo aerodinamico (slender, streamlined)

Per si intende quel corpo che lascia una scia di

dimensioni molto più piccole rispetto alla lunghezza caratteristica del corpo, come un profilo alare,

sommergibile …

corpo tozzo (blunt, bluff)

Per si intende quel corpo la cui scia è di dimensioni paragonabili alla

lunghezza caratteristica del corpo, come un cilindro, una pallottola, un’automobile … . Inoltre si

osserva una grande separazione del flusso nella parte posteriore del corpo.

- -

-

= . .

2D 3D

3D -> ALA

2D -> PROFILO ALARE Aereo

ma

c (chord) Superficie alare

(planform area)

Ah

-

h h (height) Area frontale proiettata

Dobbiamo capire quali sono le lunghezze di riferimento sia per i corpi snelli, sia tozzi. Queste

cambiano anche in funzione di un caso aerodinamico 2D o 3D.

corpi snelli

Le lunghezze di riferimento per sono misurate tipicamente nella stessa direzione del

flusso perché in questi casi la forma prevalente di resistenza è per attrito che è legata sopratutto

alla superficie bagnata quindi all’estensione in direzione orizzontale del corpo.

In 2D è la corda cioè la distanza tra il bordo di ingresso e il bordo di uscita, mentre in 3D è la

superficie alare.

corpi tozzi

Per i nel caso 2D è la massima altezza in quanto la resistenza prevalente è di forma che

è fonte di separazione. Quindi questa altezza per un cilindro è il diametro, mentre in 3D è la

superficie frontale proiettata del corpo, cioè la sagoma dell’automobile.

DRAG & LIFT

Anche in questo caso si suddividono le definizioni per corpo snello e tozzo.

Moo

Moo :

Forze di

Ì fa tipo 0

viscoso >

, Fa

>

:

: :

:

Quando c’è un moto relativo tra un corpo e un fluido, si stabiliscono delle forze che saranno

tipicamente di resistenza, quindi con una componente nella stessa direzione del flusso, e di

portanza o deportanza in direzione ortogonale al flusso.

corpo snello Fa

Per un avremo una forza aerodinamica applicata sul corpo dal fluido con una

grossa componente di portanza e una piccola componente di resistenza, viceversa per il corpo

tozzo. Possiamo quindi dare una definizione e dire che:

i u∞ Fa i

•) con // flusso, = |u∞|i => D = • (DRAG - RESISTENZA)

j g Fa j

•) con perpendicolare al flusso, = -|g|j => L = • (LIFT - PORTANZA)

Quindi la resistenza D è la componente della forza aerodinamica nella direzione del flusso, mentre

la portanza in direzione ortogonale al flusso e opposta alla gravità.

Fa j

L = - • (DEPORTANZA)

CLASSIFICAZIONE DELLE FORME DI RESISTENZA (FROM THE STRESS TENSOR)

Per definizione, dal tensore degli sforzi si ricava che possono esserci forze tra il fluido e il corpo

solido che possono essere tangenziali, cioè di origine viscosa, o ortogonali alle superficie, cioè di

pressione. )

( f : skin friction

Df partorito

persistenza p : pressure

Dp )

(

D form riforma

-

f

,

Dp

Dp )

( indotta

INDUCE d-

i

, supersonico

Moro

Dp )

( D'

WAVE ONDA

w -

, nun

t

t

-

Df : resistenza per attrito data dalla somma delle singole forze di tipo viscoso sul corpo.

Dp : resistenza dovuta ad uno sbilanciamento del campo di pressione (dp/dx).

Moo

Moo Forze di i

y F- a tipo I

> ^ viscoso ×

> Fa

>

7

a I

> 7

> t

t

Dp,w (wave resistance pressure - resistenza di pressione d’onda) : si osserva per esempio nel

moto supersonico dovuto alle onde d’urto, oppure nelle onde che le barche lasciano dietro di loro.

Dp,t (induced resistance pressure - resistenza di pressione indotta) : per indotto si intende dovuto

alla presenza di una portanza. Questa resistenza si verifica solamente nei casi 3D.

Dp,f (form resistance pressure - resistenza di pressione di forma) : è legata ad uno sbilanciamento

del campo di pressione e racchiude tutte le componenti che non sono indotte o associate alla

presenza di onde. Si verifica sia in casi 2D che 3D ed è in particolare associata alla geometria del

corpo.

16/11/2020 // LEZIONE 42

RESISTENZA PER ATTRITO PER UNA LASTRA - BOUNDARY LAYER FRICTION

Quando un fluido è in moto relativo con un corpo solido, si chiama resistenza per attrito la

componente della forza che si scambiano corpo solido e fluido nella direzione del moto quando

questa forza è dovu