Aerodinamica

AERODINAMICA E GESTIONE TERMICA DEL VEICOLO

Anno 2020 - 2021

Ingegneria del Veicolo

Appunti a cura di Panico Filippo Pio

21/09/2020 // LEZIONE 1

IPOTESI DEL CONTINUO

Essa risolve il problema legato alla struttura della materia fluida che, nel caso in esame, è l’aria.

L’aria è costituita da un insieme di molecole (azoto, ossigeno ed altre) che si muovono in moto

disordinato, detto moto Browniano, e ciò avviene nel vuoto.

Se due molecole hanno i vettori velocità diretti uno verso l’altro, ad un certo punto si scontrano. La

distanza libera tra queste due molecole è chiamata cammino libero medio indicata con l_0 e

rappresenta in pratica la distanza che una molecola compie prima di collidere. l_0 dipende dalla

temperatura ma è una distanza molto piccola.

−9

l ≈ 10 ⋅ 10 ≡ 10

m nm

0

Si definiscono alcune quantità indispensabili per la fluidodinamica.

La densità

Poiché la fluidodinamica utilizza funzioni matematiche continue C e magari con alcune derivate

n

C

continue (n>1), allora il problema di definizione delle densità non è del tutto banale, in quanto

la necessità di utilizzare funzioni continue richiede per esempio che per ciascun punto e ciascun

istante del nostro dominio di interesse sia definito il vettore posizione P.

Il problema della definizione della densità non è semplice perché, in un generico punto P

statisticamente ci staranno una frazione di molecole dato dal fatto che, in un certo istante ci starà

una molecola mentre in un altro istante nessuna. La densità allora assume valori da zero verso

valori molto grandi tendenti all’infinito; questo se si decide di applicare la definizione di densità ad

un punto. Ma anche questa correlazione potrebbe creare problemi, in quanto il punto, dal punto di

vista matematico, ha volume nullo.

∞

ρ = m/V = m/0 —>

La densità va considerata quindi non su un punto ma su una quantità piu estesa che si ritiene essere

una quantità media spaziale.

Per semplicità, quindi, si definisce la densità come la media calcolata in una sfera centrata nel

punto P precedentemente detto.

ρ = m della sfera centrata in P / V della sfera centrata in P ρ = ρ (x,y,z,t)

Si vuole quindi definire la dimensione corretta della sfera di raggio r.

Un raggio r ~ 1 (10) nm cioè dell’ordine di grandezza del cammino libero medio comporta una

scelta non corretta poiché è un valore troppo piccolo e la densità potrebbe ancora statisticamente

dipendere dall’istante in cui si effettua la misura della densità.

La prima raccomandazione è quindi che ρ venga definita su sfere di raggio maggiore una decina di

l

volte di .

0

r > 10l ≈ 10(10 ) ≈ 100

nm nm

0

D’altra parte, per valori di r troppo grandi (r >> 100nm) si potrebbero includere nella misurazione

degli effetti macroscopici non desiderati, come ad esempio, in un punto in prossimità del cofano

motore di un’autovettura inevitabilmente il centro della sfera può avere una temperatura

sensibilmente inferiore rispetto a quella della parte esterna della sfera se situata in corrispondenza

di T elevate (motore).

Si definisce un grafico di ρ = ρ(r).

r ≈

se (0-100)nm : il raggio è troppo piccolo e si osservano dei valori molto intermittenti della

densità perché statisticamente si possono, ad esempio, all’interno di quel volume definito da r avere

in un certo istante 4(5) molecole ed in un istante dopo 0 molecole .

r >

se 100nm : ρ diviene abbastanza stabile ed assume un valore sensato.

r ≫

se 100nm : si osservano delle deviazioni di densità che potrebbe aumentare a causa di un calo

della temperatura o diminuire a causa di un aumento della temperatura.

Allora, l’ipotesi del continuo essenzialmente afferma che, dal punto di vista della fluidodinamica

si può pensare al fluido come una quantità continua definita a sua volta da funzioni continue, come

la densità o la velocità, ritenute dei valori medi in quanto calcolate in una sfera centrata in un

generico punto, di raggio né troppo piccolo né troppo grande, purché venga scelto in un range di

l

valore molto più grande di e molto più piccolo rispetto alle lunghezze caratteristiche del

0

fenomeno (che può essere l’altezza di un’autovettura h ~ 1 (1.5) m e quindi r dev’essere r <<< h).

21/09/2020 // LEZIONE 2

GRANDEZZE CONTINUE DI UN FLUIDO

ρ : densità (kg/m^3)

μ : viscosità dinamica (Pa*s)

ν : viscosità cinematica (m^2/s)

v = μ /ρ

La viscosità è definita mediante sforzi e deformazioni all’interno di un fluido. Per una sostanza pura

le grandezze caratteristiche dipendono da due parametri ovvero pressione e temperatura.

ρ = ρ (p,T) ν = ν (p,T) μ = μ (p,T)

Al di fuori della gestione termica, nel caso della sola aerodinamica, si può fare l’ipotesi di

temperatura uniforme del fluido (aerodinamica isoterma).

ρ = ρ (p) ν = ν (p) μ = μ (p)

Per piccoli valori del numero di Mach (Ma < 0.3) neppure la densità varia in modo significativo

con la pressione.

ρ ≠ ρ(p) Non è funzione della pressione

ν ≠ ν(p) Non è funzione della pressione

μ ≠ μ(p) Non è funzione della pressione

NB. Per vetture automobilistiche Ma < 0.1

Se si grafica ρ = ρ(T) si nota che la densità cala con l’aumentare della temperatura.

Invece, l’andamento della viscosità con la temperatura dipende dalla natura del fluido, liquido o

aeriforme, in quanto i liquidi hanno una struttura molecolare labile e quindi all’aumentare della

temperatura la viscosità cala perché le molecole del liquido tendono ad allontanarsi e quindi il

legame tra sforzi e deformazioni tende a diminuire.

Per gli aeriformi, all’aumentare della temperatura, aumenta l’energia cinetica, aumentano le

collisioni dovute al moto browniano, aumentano le forze che si verificano in seno al fluido e quindi

aumenta la viscosità.

DEFINIZIONE DI PARTICELLA FLUIDA - FLUID PARTICLE

È una piccola quantità di massa di materia che si muove con il fluido mantenendo la sua identità;

cioè se rappresento la materia con n particelle azzurre quando questa si muove gli ultimi non

cambiano in numero.

DEFINIZIONE DI ELEMENTO MATERIALE - MATERIAL ELEMENT

È una regione di flusso che durante il suo moto mantiene la sua identità.

Fin

21/09/2020 // LEZIONE 3

Si vuole ora analizzare la cinematica dei fluidi, cioè studiarne il moto senza considerare le forze

che lo hanno causato.

PRINCIPIO DI RECIPROCITÀ DI LEONARDO DA VINCI

È associato ad un’osservazione di Leonardo Da Vinci sugli uccelli. Esso afferma che, il motivo per

cui gli uccelli in volo devono battere le ali è legato alla propulsione, cioè la spinta che permette agli

uccelli di muoversi in avanti, ed è legato alla portanza, cioè la forza che permette agli uccelli di

sollevarsi.

Inoltre, osserva che, le forze che si generano durante il moto di un uccello che sbatte le ali in aria

ferma sono le stesse che si generano se l’uccello è fermo e c’è vento, cioè l’aria è in movimento.

Questo è definito come il principio di reciprocità aerodinamica. Ciò permette di studiare

l’aerodinamica di una vettura da due sistemi di riferimento diversi:

- s.r. solidale alla vettura in una pista

- s.r. solidale ad un osservatore su un rettilineo

La galleria del vento quindi permette di simulare il primo caso in quanto vale il principio di

reciprocità (nella galleria l’auto è ferma ma l’aria è in moto) e quindi le forze che si generano sono

le stesse.

II LEGGE DI NEWTON PER LA FLUIDODINAMICA

Se si considera un corpo puntiforme ma dotato di una massa m misurabile, si può osservare

che:

⃗ ⃗

d

F = (m v ) II legge di Newton

dt ⃗ ⃗

F = m a

se la massa è costante:

Si vuole applicare questa equazione nel caso della fluidodinamica. Si anticipa che tale tentativo

di applicazione fallirà. Sia dato un corpo tozzo, in particolare un cilindro, investito da un profilo

piatto di velocità abbastanza lontano dal corpo e uniforme (si è nella galleria del vento e vale il

principio di reciprocità).

- flusso di tipo laminare ∂ * =0 ( )

derivata locale

flusso stazionario (non dipende dal tempo):

- ∂ t

Sia dato un punto (rosso) nei paraggi del cilindro. Per mezzo della tecnica di visualizzazione del

flusso si osservano delle linee di corrente che passano per i dati generici punti. Poiché si è in regime

stazionario, se si pone un anemometro in corrispondenza del punto, esso fornisce una misura della

velocità che risulta essere sempre la stessa.

Applicando la II Legge di Newton nel punto P si ottiene che:

⃗ ⃗

⃗ v

d

F = m = 0 (

derivata materiale: in realtà andrebbe indicata con la D maiuscola)

dt ⃗

⃗

d v = 0

dt

Allora, le forze applicate in P sono un vettore nullo. Ciò non può essere vero perché le particelle che

passano per quel punto deviano e quindi dev’esserci necessariamente qualche forza applicata su

queste. Il paradosso nasce dal fatto che nella definizione della seconda legge di Newton viene

utilizzata la derivata materiale mentre in questo caso si è utilizzata una derivata locale.

Derivata materiale: ottenuta seguendo la particella materiale.

Derivata locale: derivata nel tempo in un punto fisso cioè mi indica le modifiche temporali di una

caratteristica in quel punto.

La II legge di Newton è quindi in disaccordo con l’ipotesi di stazionarietà che può essere applicata

solo localmente quindi facendo una derivata locale. Per risolvere questo conflitto si fa riferimento a

due punti di vista della particella: il punto di vista spaziale e il punto di vista referenziale.

PUNTO DI VISTA SPAZIALE P=(x,y,z)

Si fissa l’attenzione in un un generico punto di coordinata ad un dato istante di tempo t.

A questo punto la velocità può essere espressa come funzione di queste variabili indipendenti,

ovvero la posizione di P e il tempo.

v v v

= [P,t] = [(x,y,z),t] velocità del punto

Ponendolo come un caso reale, si potrebbe immaginare la velocità misurata in una galleria del

vento in un determinato punto ad un certo istante attraverso uno strumento di misura. Variando

uno dei due parametri varierà anche il valore letto dallo strumento, detto tasso di variazione locale

v,

di però noi sappiamo che il punto resta invariato in quanto la posizione dello strumento è fissa.

Se però si considera un esperimento, come un cilindro il cui asse è orientato perpendicolarmente

al flusso, condotto in galleria del vento in condizioni stazionarie, montando sopra il cilindro dei

misuratori di velocità si nota che la variazione di essa è nulla in quanto non dipende più dal tempo

e quindi: v)

∂v/∂t = ∂v(P,t)/∂t = 0 (derivata locale di

Si capisce quindi che non sarà possibile applicare la seconda legge di Newton in quanto non si

hanno forze applicate dalle particelle sulla superficie solida poiché risulta essere nulla

l’accelerazione. Si sa però che le particelle, interagendo con la superficie del solido, scambiano

forze e dunque, quanto detto prima è sbagliato.

Si comprende così che per poter misurare le forze scambiate tra solido e flusso non si può fare

riferimento alla lettura della velocità locale del flusso, bensì si deve seguire il moto delle particelle

lungo tutta la superficie del solido, in modo da poter misurare le variazioni di velocità punto per

punto e valutare cosi le accelerazioni e decelerazioni necessarie a determinare le forze causate dal

fluido e agenti sul corpo.

PUNTO DI VISTA REFERENZIALE

Mediante questa si possono valutare le accelerazioni in quanto si segue il moto della particella

punto per punto nello spazio. In altre parole, il sistema di osservazione lagrangiano sposta

dal generico punto alla particella,

l’attenzione seguendola istante per istante.

x0

Si fissa un istante t_0 e si registra la posizione della particella nello spazio mediante le 3

coordinate del sistema di riferimento cartesiano.

x* x*(t, x0) x0

= posizione generica al tempo t della particella che viene identificata con

x0 x* x0)

= (t=t0, posizione iniziale della particella al tempo t0

v*

La velocità misurata (si mette l’asterisco in quanto ci si riferisce al sistema lagrangiano) al tempo

x0.

t viene quindi misurata tenendo conto della posizione iniziale della particella In questo modo si

x0

considerano le variazioni di velocità che ha avuto la particella identificata con lungo tutto il tuo

movimento da t_0 a t.

x0

v* v*(t,

= ) velocità della particella

VALUTAZIONE DELLA VELOCITÀ DEL PVS ATTRAVERSO UNA DERIVATA NEL PVR

Obiettivo: ottenere l’espressione dell’accelerazione da utilizzare nella II Legge di Newton, ovvero

calcolare la variazione di velocità della particelle e non i tassi di variazione locale di v.

Metodo: collegamento tra il pvs e il pvr.

Col PVR identifico una particella (la posizione varia) mediante la sua posizione iniziale x0 e misuro la

velocità di questa particella nelle altre posizioni che avrà occupato negli istanti di tempo successivi.

Col PVS identifico un punto (la posizione resta invariata) e misuro la velocità del fluido in questo

punto nel tempo mediante un anemometro. Però se la posizione di questo punto nel PVS coincide

proprio con la posizione in quell’istante di tempo t della particella nel PVR, allora posso dire che le

due velocità, quella del PVR e quella del PVS coincidono.

Elemento di collegamento: (1) : la derivata della posizione nel pvr è la

velocità nel pvs

mi

PVR si

PVS è

← • i

Derivo la (1) e la proietto lungo È una derivata di una funzione

Bazooka

composta perché dipende direttamente

e indirettamente dal tempo

Moapa

Derivata materiale x

Du/dt : derivata materiale della prima componente della velocità in un certa posizione e ad un

certo tempo t.

Per scriverla in breve: Massot

was Derivata materiale

→ a

YI )

( L

sono

iv. 0

= . .

.

Possiamo eseguire la derivata materiale della densità, vista la sua importanza.

dj % È

è si

gradini

NB. YI

+ +

=

¥ ti

%

è ¥

F- si

+ +

= In

coda

g- -

. Derivata fatta seguendo la particella nel suo moto

È inoltre possibile estendere la derivata materiale ad una componente del vettore velocità.

Esagerazione è diverso da zero nel caso

Termine di trascinamento stazionario

è nullo se il flusso è stazionario F

Allora, essendo il termine di trascinamento diverso da zero, lo sarà anche nel caso di flusso

0)

stazionario (F diverso da nel punto considerato !!!

Interpretazione del termine di trascinamento

iv. gradi è gridò

e

+ - Ì

¥ È %

.

5- gradv è una matrice Jacobiana J ed il prodotto

È % %

= scalare tra un vettore ed una matrice non è definito

%

¥ ¥

.

iv. gradi lui

5 (2)

E. )

è grado

grana gradw

; ;

= . -

i j E

Vettore

Scalare Vettore

In alcune situazioni la (2) la si scrive scalarmente, cioè proiettata in una delle tre direzioni che

supponiamo z. Quindi affinché dia come risultato uno scalare occorre che ci sia in questo caso un

prodotto scalare tra due vettori, come indicato nella (3).

vi. f-

wagzw è diverso da zero nel caso stazionario

gradw It

) =p

*

= (3)

Vettore Scalare

Vettore

22/09/2020 // LEZIONE 4

EVOLUZIONE DI UN ELEMENTO FLUIDO

Sia dato un elemento fluido e si valutino le possibilità di evoluzione dello stesso. Per comodità

all’istante iniziale si ipotizza quadrato e con i lati retti nella stessa direzione del s.r. xy. Durante il

moto, questo elemento fluido, può traslare ma mantenendo sempre le facce parallele agli assi x

e y.

" § TRASLAZIONE PURA

L’elemento iniziale può anche ruotare. Quindi combinando la rotazione con la traslazione si può

ottenere anche il seguenti risultato.

" § TRASLAZIONE + ROTAZIONE INIZIALE

Altri tipi di evoluzioni dell’elemento fluido sono legate a deformazioni, come una riduzione

dell’area o la dilatazione della stessa.

DILATAZIONE O RESTRINGIMENTO

Un’ultima evoluzione è la deformazione per taglio dovuta ad uno sforzo di taglio. Essa modifica

gli angoli dell’elemento fluido.

DEFORMAZIONE PER TAGLIO - SHEAR STRAIN

CINEMATICA DEI FLUIDI

È la disciplina che studia il moto dei fluidi senza andare ad indagare sulle forze che hanno generato

il moto.

ν (m^2/s) : viscosità cinematica —> non compare l’unità di misura di una forza

μ (Pa*s) : viscosità dinamica —> compare il Pa quindi misura anche le forze

Sia dato un elemento fluido inizialmente quadrato e con le facce parallele agli assi coordinati x e y.

In un sistema di riferimento bidimensionale il verso positivo delle rotazioni è il senso orario.

assaporiamo

Rotazioni positive antiorarie

esgrpfffffffhlllfffffffhhp

È v'

[ 2D perché è semplice

-

y +

a aAoSgaaagoaoooooooo

ooaorioi-ow.eu

← - ammassamento

•

Δt piccolo => θ1, θ2 piccol