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16x2-9=0

a = +16, b = 0, c = -9 => a e c sono discordi dunque è >0 e l'equazione ammette due soluzioni reali ma opposte

-4ac = -4(16)(-9) = +576 > 0

x = ± 3/4

x1 = -3/4; x2 = +3/4

2x2+4=0

a = +2, b = 0, c = +4 => a e b sono concordi dunque è <0

e l'equazione non ammette perciò alcuna soluzione reale

-4ac = -4(2)(4) = -32 < 0 => -32 => N.S.R.

5x2+4x=0

5x(x+4)=0 <=>

5x=0 e x+4=0 <=>

x=0 e x=-4

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Sintesi

Equazioni di secondo grado incomplete

Rammentiamo la definizione.

Un'equazione di secondo grado è un'espressione della forma

[math](*)\qquad a X^2 + b X + c = 0[/math]

Dove:

  • [math]a[/math]
    ,
    [math]b[/math]
    e
    [math]c[/math]
    sono i coefficienti, rispettivamente, dei termini di grado 2, 1 e 0;
  • La
    [math]X[/math]
    è la variabile.

Secondo il Teorema fondamentale dell'Algebra, ogni equazione di grado

[math]m[/math]
ammette
[math]m[/math]
soluzioni. La (*), dunque, ammette 2 soluzioni che si determinano mediante le formule risolutive:

[math](1)\qquad \Delta = b^2 - 4 a c\\ (2)\qquad X_1 =\frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a},\quad X_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}[/math]

La (*) si dice completa quando i coefficienti

[math]a[/math]
,
[math]b[/math]
e
[math]c[/math]
sono tutti non nulli, quando uno o più di essi è nullo, l'equazione risultante si dice incompleta.

Primo caso:
[math]a=0[/math]

Se il coefficiente del termine di grado massimo,

[math]a[/math]
, è pari a 0, la (*) diventa

[math]b X + c = 0[/math]

Che, evidentemente, non è più un'equazione di secondo grado, bensì di primo.

Secondo caso:
[math]b=0[/math]

Se il coefficiente del termine di primo grado è nullo, la (*) diventa

[math]a X^2 + c = 0[/math]

E si dice equazione di secondo grado incompleta pura.

Per quanto riguarda la sua risoluzione, (1) e (2) continuano a valere, ma assumono una forma più semplice:

[math](1)'\qquad \Delta = - 4 a c\\ (2)'\qquad X_1 =\frac{- \sqrt{\Delta}}{2a},\quad X_2 = \frac{+ \sqrt{\Delta}}{2a}[/math]

Ovviamente, in questo secondo caso, il

[math]\Delta[/math]
non è mai nullo ma può essere positivo o negativo:

  • Se
    [math]a[/math]
    e
    [math]c[/math]
    sono concordi, allora il
    [math]\Delta[/math]
    è negativo e l'equazione non ammette soluzioni reali;
  • Se
    [math]a[/math]
    e
    [math]c[/math]
    sono discordi, allora il
    [math]\Delta[/math]
    è positivo e l'equazione ammette le due soluzioni reali ed opposte (2)'.

Terzo caso:
[math]c[/math]
= 0

Se il termine noto è pari a 0, la (*) diventa

[math]a X^2 + b X = 0[/math]

E prende il nome di equazione di secondo grado incompleta spuria, la cui risoluzione non richiede necessariamente l'uso delle formule risolutive.

Volendo usare (1) e (2), esse diventano:

[math](1)"\qquad \Delta = b^2\\ (2)"\qquad X_1 =\frac{-b - \sqrt{b^2}}{2a}=-\frac{b}{a},\quad X_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2}}{2a}=0[/math]

Altrimenti, si può effettuare un raccoglimento totale della variabile

[math]X[/math]
e risolvere come segue:

[math]a X^2 + b X = 0\ \Rightarrow\ X(a X + b) = 0\ \Rightarrow\ X=0,\ X=-b/a[/math]

Esempi: vedi file allegato.

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