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Equazioni di secondo grado

Primo caso

3x2 + 7x - 6 = 0

a = +3, b = +7, c = -6

Delta = b2 - 4ac = (+7)2 - 4(+3)(-6) = 49 + 72 = 121

0 > 0 => x1 = -b - /2a = -7 - 121/6 = -7 - 11/6 = -3

x2 = -b + /2a = -7 + 121/6 = -7 + 11/6 = +4/6 = +2/3

Secondo caso

4x2 - 12x + 9 = 0

a = +4, b = -12, c = +9

b2 - 4ac = (-12)2 - 4(+4)(+9) = 144 - 144 = 0

0 = 0 => = 0 => x1 = x2 = -b/2a = +12/8 = +3/2

Terzo caso

3x2 - 4x + 7 = 0

a = +3, b = -4, c = +7

b2 - 4ac = (-4)2 - 4(+3)(+7) = 16 - 84 = -68

0 < 0 => N.S.R.

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Sintesi

Equazioni di secondo grado complete

Un'equazione di secondo grado è un'espressione della forma

[math]a X^2 + b X + c = 0 (*)[/math]

Dove:

[math]a, b, c[/math]
sono detti coefficienti dell'equazione, rispettivamente, dei termini di grado 2, 1 e 0 e sono numeri reali;
[math]X[/math]
è la variabile.

Lo scopo dell'equazione è determinare tutti i valori (che sono 2 visto che il grado dell'equazione è 2 - Teorema fondamentale dell'Algebra) che, sostituiti alla

[math]X[/math]
verificano l'uguaglianza.

Esempio

[math]2 X^2 + 2X - 12 = 0[/math]

[math]X = 2[/math]
rende vera l'uguaglianza perché

[math]2(2^2) + 2(2) - 12 = 8 + 4 - 12 = 12 - 12 = 0[/math]

[math]X = 1[/math]
non verifica l'equazione perché

[math]2(1^2) + 2(1) - 12 = 2 + 2 - 12 = 4 - 12 = -8[/math]

L'equazione (*) viene detta completa, perché in essa compaiono tutti i termini, dal grado massimo al grado minimo: tutti i coefficienti sono cioè diversi da 0.

Come si risolve un'equazione di secondo grado?

Esistono due formulette semplicissime:

[math] (1)\qquad \Delta = b^2 - 4 a c (2)\qquad X_1 = \frac{-b -\sqrt{\Delta}}{2a}\quad X_2 = \frac{-b +\sqrt{\Delta}}{2a}[/math]

A seconda che il

[math]\Delta[/math]
sia positivo, nullo o negativo, la (*) ammette 2,1 o nessuna soluzione reale. Vediamo perché:

  • Se
    [math]\Delta > 0[/math]
    allora nella (2) è
    [math]\sqrt{\Delta} > 0[/math]
    e dunque le soluzioni reali
    [math]X_1[/math]
    e
    [math]X_2[/math]
    esistono e sono distinte;
  • Se
    [math]\Delta = 0[/math]
    allora nella (2) è
    [math]\sqrt{\Delta} = 0[/math]
    e dunque le soluzioni
    [math]X_1[/math]
    e
    [math]X_2[/math]
    esistono ma sono uguali, perciò si parla di due soluzioni reali e coincidenti
    [math]X = -b/2a[/math]
    ;
  • Se
    [math]\Delta<0[/math]
    allora nella (2)
    [math]\sqrt{\Delta}[/math]
    non esiste e pertanto non esistono soluzioni reali della (*).

Esempi: vedi file allegato.

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