Equazioni di primo, secondo, terzo e quarto grado

Formulario di matematica

G. Sammito, A. Bernardo, Equazioni algebriche

F. Cimolin, L. Barletta, L. Lussardi

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13. Equazioni algebriche

1. Principi di equivalenza

Si dice identità un'uguaglianza tra due espressioni contenenti una o più variabili che è vera per tutti i valori che si possono attribuire alle variabili, purché le espressioni abbiano significato.

( ) 2

+ = + +

2 2; questa uguaglianza è vera per qualsiasi valore delle variabili e

2 a

Esempio: a b a ab b

b.

Si dice equazione una uguaglianza tra due espressioni algebriche contenenti una o più variabili, dette incognite, verificata solo per determinati valori delle incognite.

È verificata per infatti ma non è verificata per altri valori di per

Esempio: x+2x=3 x=1, 1+2=3, x,

esempio per risulta falso.

x=2 2+4=3

Si chiamano soluzioni di un’equazione i valori che sostituiti alle incognite rendono vera l'equazione. Risolvere un'equazione significa trovare l'insieme di tutte le soluzioni dell'equazione.

Due equazioni si dicono equivalenti se hanno lo stesso insieme di soluzioni.

Primo principio di equivalenza

Data un'equazione, aggiungendo a entrambi i membri uno stesso numero od una stessa espressione contenente l'incognita si ottiene un'equazione equivalente. Se si aggiunge un'espressione che dipende da un'incognita non si devono modificare le condizioni di esistenza dell’equazione stessa. = −

Data l’equazione si può aggiungere a entrambi i membri si ottiene

3 1 2

Esempio: +2x,

x x

+ = − +

l’equazione equivalente.

3 2 1 2 2

x x x x

Conseguenze dirette del primo principio di equivalenza sono la regola del trasporto e la regola di cancellazione.

Regola del trasporto: data un'equazione, trasportando un termine da un membro all'altro e cambiandolo di segno si ottiene un'equazione equivalente.

+ = −

Data l’equazione possiamo portare +1 dopo l’uguale e 2x prima

3 1 2 5

Esempio: x x − = − −

dell’uguale, otteniamo l’equazione equivalente.

3 2 5 1

x x

Regola di cancellazione: data un'equazione, termini uguali presenti in entrambi i membri possono essere cancellati, ottenendo un'equazione equivalente.

+ + = −

Data l’equazione possiamo cancellare 2x prima dell’uguale e lo stesso

3 1 2 2 5

Esempio: x x x + = −

2x dopo l’uguale, ottenendo l’equazione equivalente.

3 1 5

x

Secondo principio di equivalenza

Data un'equazione, moltiplicando ambo i membri per un numero diverso da zero si ottiene un'equazione equivalente. Si può anche moltiplicare per un'espressione contenente l'incognita purché l’espressione non si annulli qualunque sia il valore dell'incognita stessa, e che non restringa le condizioni di esistenza.

=

Data l’equazione possiamo dividere primo e secondo membro per 3 ottenendo

3 4

Esempio: x

3 4 4

x =

=

l’equazione equivalente.

, semplificando x

3 3 3

Conseguenze dirette del secondo principio di equivalenza sono:

Regola della divisione per un fattore comune diverso da zero: data un'equazione in cui tutti i termini hanno un fattore comune diverso da zero, dividendo per tale numero si ottiene un'equazione equivalente.

− = + si possono semplificare tutti i termini per 3, si ottiene

nell’equazione 3 6 9 18

x x

Esempio: − = +

l’equazione equivalente.

2 3 6

x x

Regola del cambiamento di segno: data un'equazione, cambiando segno a tutti i termini di

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entrambi i membri si ottiene un'equazione equivalente.

− = − si possono cambiare di segno tutti i termini ottenendo

nell’equazione 3 2

Esempio: x

=

l’equazione equivalente.

3 2

x

Un’equazione si dice equazione algebrica polinomiale o se è riconducibile, mediante i principi di equivalenza, a un polinomio uguagliato a zero. Il grado del polinomio è detto grado

.

dell’equazione.

Teorema fondamentale dell’algebra: ogni equazione algebrica di grado n ammette esattamente n soluzioni nell’insieme dei numeri complessi (alcune delle soluzioni possono coincidere).

2. Equazioni di primo grado

Un'equazione di primo grado si può sempre ricondurre alla forma normale = 0

ax b

La soluzione dipende dai valori delle costanti e:

a b

• Se e l'equazione non ha soluzione e si dice

= 0 0 impossibile

a b

• Se l'equazione è soddisfatta per qualsiasi valore della variabile e si dice

= = 0 indeterminata

a b b

• Se l'equazione si dice determinata ed ha una e una sola soluzione =.

0 x

a a

Equazioni fratte o frazionarie

Sono le equazioni in cui l’incognita compare al denominatore.

Le equazioni frazionarie si risolvono seguendo i passi:

• Stabilire l’insieme di definizione, ossia escludere i valori dell’incognita che annullano i denominatori.
• Calcolare il denominatore comune e ridurre tutte le frazioni allo stesso denominatore comune.
• Eliminare i denominatori comuni.
• Risolvere l’equazione intera ottenuta.
• Verificare se le soluzioni trovate appartengono all’insieme di definizione.

Esempio

1 2 3

+ =

− − +

2 9 3 3

x x x

Scomporre in fattori i denominatori

1 2 3

+ =

( )( )

− + − +

3 3 3 3

x x x x

Ricerca delle condizioni di esistenza o insieme di definizione: porre i denominatori diversi da 0:

+ ≠ − ≠ ≠ − ∧ ≠ +

e, cioè

3 0 3 0 3 3

x x x x

Ridurre tutte le frazioni allo stesso denominatore

( ) ( )

+ −

2 3 3 3

1 x x

+ =

( )( ) ( )( ) ( )( )

− + − + − +

3 3 3 3 3 3

x x x x x x

Eliminare i denominatori comuni e risolvere l’equazione

( ) ( )

+ + = −

1 2 3 3 3

x x

+ + = −

1 2 6 3 9

x x

− = − − −

2 3 9 1 6

x x

− = − 16

x

= la soluzione è accettabile in quanto è diversa da +3 e da -3.

16

x 2

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