Formulario di matematica
G. Sammito, A. Bernardo, Equazioni algebriche
F. Cimolin, L. Barletta, L. Lussardi
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
3. Equazioni di secondo grado
Un'equazione di secondo grado o quadratica, in una sola variabile x a coefficienti reali, è
riconducibile alla forma normale + + = ≠
2 0 con 0
ax bx c a
un'equazione di secondo grado incompleta pura è della forma
Equazione incompleta pura: +
2 .
= 0
ax c
Si risolve nel seguente modo: c
+ → = ± −
2 = 0
ax c x
1,2 a
c
− > l’equazione ammette due soluzioni reali opposte.
Se 0
a
c
− < 0 l’equazione non ammette soluzioni reali, ammette due soluzioni immaginarie.
Se a =
= =
2
Se l’equazione si presenta nella forma 0 ed ha come unica soluzione (doppia)
0 0
ax
c x
9 3
− ⇒ ⇒ ±
2 2
4 9 = 0 = =
Esempio: x x x
1,2
4 2
un'equazione spuria di secondo grado è della forma
Equazione incompleta spuria: +
2 = 0 .
ax bx
Si risolve nel seguente modo: ⋅ +
a fattore comune l'equazione si scrive come ( ) = 0
Raccogliendo x ax b
x b
−
=
e .
Per la legge di annullamento del prodotto le due soluzioni (reali) sono = 0 x
x
1 2 a
5
− ⇒ − ⇒
2
3 5 = 0 (3 5) = 0 = 0, =
Esempio: x x x x x x
1 3
un'equazione completa di secondo grado si presenta nella forma
Equazione completa: + +
2 = 0 .
ax bx c
− ± −
2 4
b b ac
Si risolve per mezzo della formula risolutiva =
x
1,2 2 a 2
b b
− ± − ac
2 4
Se il coefficiente è pari si può utilizzare anche la formula ridotta: =
b x
1,2 a
2
b b
− ± −
=
Se e è pari si può utilizzare la formula detta ridottissima x c
a=1 b 1,2 2 4
Δ −
2
La quantità = 4 si chiama a seconda del segno che assume si ha:
b ac discriminante,
− − Δ − + Δ
b b
Δ
1. due soluzioni reali distinte: e
= =
> 0 x x
1 2
2 2
a a
b
−
Δ = =
due soluzioni reali coincidenti:
2. = 0 x x
1 2 2 a
Δ nessuna soluzione reale, due soluzioni complesse coniugate:
3. < 0 − + −Δ
− − −Δ
b i b i
= e =
x x
1 2
2 2
a a 3
………………………………… …………………………………
www.matematicamente.it
Formulario di matematica
G. Sammito, A. Bernardo, Equazioni algebriche
F. Cimolin, L. Barletta, L. Lussardi
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Esempi:
• + + =
2
2 5 2 0
x x − ± − ⋅ ⋅ − ± − − ±
2
5 5 4 2 2 5 25 16 5 3
= = =
applicando la formula risolutiva x
1,2 ⋅
2 2 4 4
− − − +
5 3 8 5 3 2 1
= = − = − = =− =−
le soluzioni sono 2
x x
1 2
4 4 4 4 2
• − + =
2 6 5 0
x x ± − = ± = ±
= 3 9 5 3 4 3 2 , le soluzioni sono
Si può applicare la formula ridottissima x
1,2
= − = = + =
3 2 1 3 2 5
x x
1 2
4. Relazioni fra i coefficienti e le radici di un’equazione di 2° grado
+ +
2
Data un'equazione di secondo grado = 0 , che ha come soluzioni e , fra le radici e i
ax bx c x x
1 2
, ,
coefficienti sussistono le seguenti relazioni:
a b c b c
+ − ⋅
= =
x x x x
Somma delle radici: Prodotto delle radici:
1 2 1 2
a a
− + =
2
Pertanto un’equazione di secondo grado si può sempre scrivere nella forma 0 , dove
x Sx P S
= + = ⋅
,
è la somma delle soluzioni, è il prodotto delle soluzioni: S x x P x x
P 1 2 1 2
Altre relazioni −
2 4
b ac
− =
Differenza delle radici: x x
1 2 2 a
1 1 b
+ −
=
Somma dei reciproci delle radici: x x c
1 2 −
2 2
b ac
+
2 2 =
x x
Somma dei quadati delle radici: 1 2 2
a −
2
1 1 2
b ac
+ =
Somma dei reciproci dei quadrati delle radici: 2 2 2
x x c
1 2
− 3
3
abc b
+
3 3 =
x x
Somma dei cubi delle radici: 1 2 3
a − 3
1 1 3
abc b
+ =
Somma dei reciproci dei cubi delle radici: 3 3 3
x x c
1 2
Da queste relazioni discendono le seguenti proprietà:
- Le radici sono opposte se e solo se = 0
b
- Le radici sono reciproche se e solo se =
a c −
- Le radici sono antireciproche se e solo se =
a c
- Una radice è zero se e solo se = 0
c c c
Δ , e sono discordi se e solo se
- Se , allora le radici sono concordi se e solo se > 0 < 0
> 0 a a 4
………………………………… …………………………………
www.matematicamente.it
Formulario di matematica
G. Sammito, A. Bernardo, Equazioni algebriche
F. Cimolin, L. Barletta, L. Lussardi
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
5. Regola dei segni o regola di Cartesio (equazioni di 2° grado)
+ + = Δ ≥
2
Data l’equazione 0 con a ogni permanenza nei segni dei coefficienti
0
ax bx c
corrisponde una soluzione negativa, a ogni variazione dei segni nei coefficienti corrisponde una
soluzione positiva.
Più precisamente:
a b c
+ + + due permanenze, quindi due soluzioni negative
+ + - una permanenza e una variazione: una soluzione negativa, una positiva
+ - - una variazione e una permanenza: una soluzione positiva e una negativa
- + - due variazioni: due soluzioni positive
6. Scomposizione di un trinomio di secondo grado
+ + + +
2 2
Dato un trinomio , e dette le soluzioni dell'equazione = 0 , risulta
,
ax bx c ax bx c
x x
1 2
+ + − −
2 = ( )( )
ax bx c a x x x x
1 2
+ +
2
Dato il trinomio 2 5 2
Esempio: x x − ± − − ±
5 25 16 5 3 1
+ + = = = → = − = −
2 sono
Le soluzioni di 2 5 2 0 2;
x x x x x
1,2 1 2
4 4 2
⎛ ⎞
1
( )
+ + .
Il trinomio si scompone 2 2 ⎜ ⎟
x x 2
⎝ ⎠
7. Equazioni parametriche (di 2° grado)
Si dicono equazioni parametriche le equazioni che contengono, oltre all’incognita solitamente
indicata con la lettera x, anche una o più lettere dette parametri. Le soluzioni variano a seconda dei
valori dei parametri.
• Determinare le soluzioni quando è assegnato il valore del parametro.
( )
+ − + + =
2 , determinare le soluzioni per
2 1 0
Esempio: k=-1
kx k x k
Svolgimento. Sostituire a k il valore assegnato e risolvere l’equazione
( ) ( ) ( )
− − =
− + − − − + = − + = → = = −
2
2 diventa 3 0 , le soluzioni sono
1 1 2 1 1 0 3 0 0; 3
x x
x x x x x x
• Determinare il valore del parametro quando è assegnata una soluzione dell’equazione.
( )
+ − + + =
2 , determinare in modo che l’equazione abbia soluzione
2 1 0
Esempio: k x=9.
kx k x k
Svolgimento. Sostituire il valore della soluzione alla x e risolvere l’equazione nell’incognita k
17
( )
+ − + + = → + − + + = → = → =
2
9 2 9 1 0 81 9 18 1 0 91 17
k k k k k k k k 91
• = −
Determinare il valore del parametro in modo che le soluzioni siano opposte x x
1 2
( ) = −
+ − + + =
2 , determinare in modo che
2 1 0 k x x
Esempio: kx k x k 1 2
Svolgimento. Imporre la somma delle soluzioni nulla:
S=0, − 2
b k
= → − = → − = → − = → =
0 0 0 2 0 2
S k k
a k
• Determinare il valore del parametri in modo che le soluzioni siano uguali
( ) =
+ − + + =
2 , determinare in modo che
2 2 2 3 2 0
Esempio: k x x
kx k x k 1 2
( ) ( )
2
Δ = → − = → − − ⋅ ⋅ + =
2
Svolgimento. Imporre 0 4 0 4 2 4 2 3 2 0
B AC k k k
( )
− + − − = → − − + =
2 2 2
4 4 4 24 16 0 20 32 16 0 dividendo per -4
k k k k k k
+ − = → = − ± + = − ± → = − = +
2
5 8 4 0 4 16 20 4 6 10; 2
k k k k k
1,2 1 2
• Determinare il valore del parametro in modo che la somma delle soluzioni sia un valore 5
………………………………… …………………………………
www.matematicamente.it
Formulario di matematica
G. Sammito, A. Bernardo, Equazioni algebriche
F. Cimolin, L. Barletta, L. Lussardi
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
numerico assegnato.
( ) + = −
+ − + + =
2 , determinare in modo che 3
2 1 0
Esempio: k x x
kx k x k 1 2
− 2
b k
= − → − = − → − = − → − = → = −
3 3 3 2 3 1
Svolgimento. Imporre S k k k
a k
• Determinare il valore del parametro in modo che il prodotto delle soluzioni sia un valore
numerico assegnato
( ) ⋅ =
+ − + + =
2 , determinare in modo che 2
2 1 0 k x x
Esempio: kx k x k 1 2
+ 1
c k
= → = → = → + = → =
Svolgimento. Imporre 2 2 2 1 2 1
P k k k
a k
• Determinare il valore del parametro in modo che l’equazione abbia radici reali e distinte
( )
− + + + =
2 , determinare k in modo che l’equazione abbia due radici reali e
2 2 1 0
Esempio: k x kx k
distinte. Δ > → − >
2
Svolgimento. 0 4 0
b ac ( )
( )( )
− − + > → − − − > → − + + > → + > → > −
2 2 2 2 2
4 4 2 1 0 4 4 2 0 4 4 4 8 0 4 8 0 2
k k k k k k k k k k k
• Determinare il valore del parametro in modo che la somma dei reciproci delle soluzioni sia un
valore numerico assegnato. 1 1
( ) + = −
− + + =
2 1
, determinare k in modo che
1 0
Esempio: x k x k x x
1 2
+
1 1 x x S c
b
+ = − → = − → = − = − = + = =
2 1
1 1 1 ; ; ; sostituendo si ha:
Svolgimento. 1 P k
S k
x x x x P a
a
1 2 1 2
+ 1 1
k = − → + = − → = − → = −
1 1 2 1
k k k k 2
k
• Determinare il valore del parametro in modo che la somma dei quadrati delle radici sia un
valore numerico assegnato.
( ) + =
− + + = 2 2
2 1
, determinare k in modo che
1 0 x x
Esempio: x k x k 1 2
( ) 2
+ = → + − = → − =
2 2 2
Svolgimento. 1 2 1 2 1 ; riprendendo i valori di S e di P
x x x x x x S P
1 2 1 2 1 2
( ) 2
+ − = → + + − = → = → =
2 2
1 2 1 2 1 2 1 0 0 .
ottenuti al punto precedente abbiamo k k k k k k k
Analisi dell’esistenza in R e del segno delle radici al variare di un parametro
( )
+ − + − =
2
1 2 3 0
Esempio: k x kx k 3
( )( ) ≥
Δ ≥ → − + − ≥ → ≥ −
2 0
0 4 4 1 3 0 c
k k k k 2 ≥ 0
b
≥ → + ≥ → ≥ − ≥
0 1 0 1 0
a k k a
Δ≥
≥ → − ≥ → ≤ 0
0 2 0 0
b k k
≥ → − ≥ → ≥
0 3 0 3
c k k -1 0 3
3
− 2
Δ <
1° caso k<-3/2; nessuna radice reale.
0
Δ = → due radici reali e coincidenti; 2 variazioni → 2 radici positive.
2° caso k=-3/2; 0
Δ > → 2 radici; 2 variazioni → 2 radici positive.
3° caso -3/2<k<-1; 0 2 → equazione di 1° grado → 1 radice; positiva.
4° caso k=-1; si annulla il coefficiente di x
Δ >
5° caso -1<k<0; → 2 radici; 1 permanenza e 1 variazione → 1 radice positiva e 1 negativa.
0
6° caso k=0; si annulla il coefficiente di x → equazione incompleta pura → 2 radici opposte.
Δ > → 2 radici; 1 variazione e 1 permanenza → 1 radice positiva e 1 negativa.
7° caso 0<k<3; 0
8° caso k=3; si annulla il termine noto → equazione spuria → 1 radice 0, 1 radice positiva. 6
………………………………… …………………………………
www.matematicamente.it
Formulario di matematica
G. Sammito, A. Bernardo, Equazioni algebriche
F. Cimolin, L. Barletta, L. Lussardi
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Δ > → 2 radici; 2 variazioni → 2 radici positive.
9° caso k>3; 0
8. Equazioni riconducibili a equazioni di secondo grado
, sono quelle in cui i coefficienti dei termini equidistanti dagli estremi sono
Equazioni reciproche
uguali a due a due oppure opposti a due a due.
Esempi
− − + =
3 2 , si annulla per x=-1, con la regola di Ruffini si abbassa di grado
2 3 3 2 0
x x x
− + − =
4 3
12 25 25 12 0 , si annulla sia per x=1, sia per x=-1, si può applicare due volte la regola
x x x
di Ruffini. + =
, sono quelle che si possono scrivere nella forma 0 , con intero
n
ax b n
Equazioni binomie
positivo; le soluzioni sono
b
= ± − se n è pari
x n a
b
= − se n è dispari
x n a
Purché queste radici esistano.
Esempi ⎧ − = → = ±
2 9 0 3
⎪
( )( ) x x
= → − = → − + = →
4 4 2 2
81 81 0 9 9 0 ⎨
x x x x + =
2
⎪⎩ 9 0 non ha soluzioni reali
x
1 1 1
+ = → = − → = − =−
3 3 .
27 1 0 3
x x x
27 27 3 + + = =
2
, si presentano nella forma 0 , si risolvono sostituendo ,
n n n
ax bx c x t
Equazioni trinomie
dalla sostituzione si ottiene un’equazione di 2° grado.
− + = =
4 2 2
6 8 0 , questo tipo di equazione è anche detta , sostituendo
x x x t
Esempio: biquadratica
± − / 4
6 36 32
= =
− + =
2 , che ha per soluzioni , tenendo conto della sostituzione
si ha 6 8 0 t
t t 1,2 2 2 2
⎧ = → = ±
2 4 2
⎪ x x
si ha ⎨ = → = ±
2
⎪⎩ 2 2
x x
Il capitolo 13 del formulario completo di matematica:
1. Principi di equivalenza,
2. Equazioni di primo grado,
3. Equazioni di secondo grado,
4. Relazioni fra i coefficienti e le radici di un'equazione di 2° grado,
5. Regola dei segni o regola di Cartesio (equazioni di 2° grado),
6. Scomposizione di un trinomio di secondo grado,
7. Equazioni parametriche di 2° grado,
8. Equazioni riconducibili a equazioni di secondo grado,
9. Equazioni di terzo grado,
10. Equazioni di quarto grado.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
