Equazioni di primo e secondo grado

Le equazioni

Un'equazione è un'uguaglianza matematica tra due espressioni letterali contenenti una o più variabili, dette incognite.

Risolvere un'equazione significa determinare il valore dell’incognita che rende verificata l’equazione.

In base alle soluzioni, l’equazione si dice:

• Determinata → ha un numero finito di soluzioni (x incidenti).
• Indeterminata → ha un numero infinito di soluzioni (x coincidenti) → va bene qualsiasi valore nella x.
• Impossibile → non ha soluzioni - non si interseca.

Le equazioni possono inoltre essere:

• Numeriche → presentano solo 1 lettera incognita.
• Letterali → oltre all’incognita vi sono anche altre lettere dette parametri.

A loro volta sono suddivise in:

• Intere → l'incognita è solo al numeratore.
• Frazionarie → l'incognita sta al numeratore e denominatore.

Sistema di equazioni

Per sistema di equazioni si intende l'insieme di due o più equazioni nelle stesse incognite.

Si scrive con la parentesi graffa, e vi devono essere 2 o più equazioni.

Un sistema può essere:

• Determinato.
• Indeterminato.
• Impossibile.

Un metodo per risolvere un sistema di equazioni è quello per sostituzione → si può utilizzare ogni volta in cui è facile ricavare un'incognita in funzione dell’altra.

Nella 1° equazione isolare l'incognita.

Nella 2° equazione, al posto dell’incognita sostituita precedentemente, metto il valore che avevo tolto all’incognita y.

Abbiamo poi il metodo per confronto.

Consiste nel ricavare l'equazione, risolvendo entrambe le equazioni del sistema rispetto alla stessa incognita e uguagliando le espressioni ottenute tra loro. Quindi risolvo entrambe le equazioni rispetto ad una sola incognita.

Equazione di 2° grado

Un'equazione di secondo grado è un'equazione algebrica in cui il grado massimo con cui compare l'incognita è 2, ed è sempre riconducibile alla forma:

ax2 + bx + c = 0 con a ≠ 0 → è ridotta ai minimi termini.

a, b, c si chiamano coefficienti e possono essere numeri reali o espressioni letterali (cioè monomi o polinomi).

• ax2 → termine di 2° grado.
• bx → termine di 1° grado.
• c → termine noto.

È completa quando ha tutti e tre i termini.

Inoltre si dice:

• Spuria → quando manca il termine noto - si risolve tramite il raccoglimento a fattori comuni.
• Pura → quando manca il termine di 1° grado - si risolve con il radicale.

Se b ≠ 0, c ≠ 0 l'equazione si dice in forma completa e si risolve utilizzando la formula risolutiva:

x1,2 = -b ± b2 - 4ac / 2a ovvero -b ± Δ / 2a perché Δ racchiude b2 - 4ac.

-b essendo ± ho due risultati:

• - b - ….; + b - ...

Il termine Δ = b2 - 4ac si chiama discriminante.

Se Δ ＞ (maggiore di) 0 l’equazione fornisce due soluzioni reali e distinte che si ottengono applicando la formula risolutiva.

Se Δ = 0 l’equazione fornisce due soluzioni reali e coincidenti x1 = x2 = -b / 2a.

Se Δ ＜ (minore di) 0 l’equazione fornisce due soluzioni non reali (complesse e coniugate).

Equazione della retta sul piano cartesiano

Consiste nel trovare l’equazione di una generica retta, ovvero scrivere un’equazione che sia soddisfatta dalle coordinate di tutti e soli i punti della retta.

Equazione generale della retta

L'equazione y = mx + q non rappresenta tutte le rette nel piano cartesiano poiché non raggruppa quelle parallele ad y.

L’equazione che rappresenta tutte le rette è ax + by + c = 0 → dove a, b, c sono numeri reali, con a, b non entrambi nulli (quando a, b non sono entrambi nulli, vi è una retta).

Posso scrivere l’equazione in forma:

• Implicita → ax + by + c = 0.
• Esplicita → y = mx + q.

Per passare dalla forma implicita a quella esplicita, bisogna risolvere l’equazione implicita rispetto ad y.

Determinare l'equazione di una retta

Si può determinare l’equazione della retta:

• Se la retta è passante per P(x0; y0) e con m conosciuto.
• Se la retta passa per due punti: P1 (x1; y1) P2 (x2; y2).

La retta di coefficiente angolare m, ha equazione: y = mx + q.

Bisogna trovare q ed uso la formula q = y0 - mx0.

Sostituendo il valore di q, otteniamo l’equazione della retta. La formula è y - y0 = x - x0.

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È l’equazione della retta passante per P(x0; y0) e di coefficiente angolare m.

Per scrivere l’equazione della retta passante per 2 punti devo trovare il coefficiente angolare (m).

m = y2 - y1 / x2 - x1 → sarebbe Δy / Δx.

Il dominio

Il dominio delle variabili incognite è l'insieme degli elementi per cui le espressioni ad ambo i membri dell'equazione sono definite, ovvero quell'insieme di numeri per cui l'equazione esiste.