Equazioni e teoremi per un elemento

Dinamica

Qualunque sia il riferimento si ha che il prodotto della massa di un elemento E per la sua accelerazione è uguale alla forza totale agente su di esso data dalla somma delle forze effettive, di quelle apparenti (se non inerziale) e delle reaz. vincolari.

f_T = m √

Se la legge della forza totale è nota si ottiene la f_T(x̄, v̄; t) = m √

La soluzione di tale eq diff vett del 2 ordine è la quest vettoriale x̄(t) che rappresenta tutti i moti compatibili con la legge di f_T assegnata. Tramite le condizioni iniziali, ricavo la soluzione particolare. La legge di forza totale è nota solo se le reazioni vincolari, che sono generalmente incognite, siano assenti; ossia se l'elem. è libero (esente da vincoli). In tal caso l'eg diventa l'eg fondamentale della dinamica dell'elem. libero. Le incognite di tale eq sono solo cinematiche. Proiettando la su RC si ottiene:

• m ẍ = f_x(x, y, z; ẋ, ẏ, ż; t)
• m ÿ = f_y(x, y, z; ẋ, ẏ, ż; t)
• m z̈ = f_z(x, y, z; ẋ, ẏ, ż; t)

che è un sistema in forma normale (cioè risolto resp le derivate di ordine massimo), completo (le incognite che compongono un esso e con le incognite cinematiche) e puro (contiene solo incognite cinematiche).

Dinamica

Qualunque sia il riferimento si ha che il prodotto della massa di un elemento E per la sua accelerazione è uguale alla forza totale agente su di esso data dalla somma delle forze effettive, di quelle apparenti (se non inerziali) e delle reazioni vincolari.

\(\vec{f} = m\vec{a}\)

Se la legge della forza totale è nota si ottiene la \(\vec{f}(\overline{OP}, \vec{v}, t) = m\vec{a}\)

La soluzione di tale eq diff vett del 2° ordine è la funzi vettoriale \(\overline{OP}(t)\) che rappresenta tutti i moti compatibili con la legge di forza assegnata. Tramite le condizioni iniziali, ricavo la soluzione particolare. La legge di forza totale è nota solo se le reazioni vincolari, che sono potenzialmente incognite, sono assenti; ossia se l'Elem. è libero (esente da vincoli). In tal caso l'eq è diventata l’eq fondamentale della dinamica dell’Elem. libero. Le incognite di tale eq sono solo cinematiche. Proiettando la * su RC si ottiene:

• \(m\ddot{x} = f_x^a(x, y, z; \dot{x}, \dot{y}, \dot{z}; t)\)
• \(m\ddot{y} = f_y^a(x, y, z; \dot{x}, \dot{y}, \dot{z}; t)\)
• \(m\ddot{z} = f_z^a(x, y, z; \dot{x}, \dot{y}, \dot{z}; t)\)

che è un sistema in forma normale (cioè risolto risp le derivate di ordine massimo), completo (le incognite che compaiono in esso è con le incognite cinematiche) e puro (contiene solo incognite cinemat).

Soluzione generale

La soluzione generale di tale sistema si data da:

• x = x(t; c₁, ... c₆)
• y = y(t; c₁, ... c₆)
• z = z(t; c₁, ... c₆)
• ẋ = ẋ(t; c₁, ... c₆)
• ẏ = ẏ(t; c₁, ... c₆)
• ż = ż(t; c₁, ... c₆)

Per determinare le 6 costanti si fa uso delle condizenz la velocità e la pos dell elemento all'ist t=0.

In corrispondenza alle cosi condiz (pos relativa a P_o e vel rela relativa a v_o) si possono ottenere altrettante del particella.

Se per t=0 P_o ≡ (x_o, y_o, z_o) e v̅_o ≡ (ẋ_o, ẏ_o, ż_o) per determinare le 6 costanti del si sostituisce x_o, y_o, z_o a x, y, z e si pone t=0 e si sostituisce ẋ, ẏ, ż, nel sust passando t=0. Si ottiene un sist di 6 eq in 6 inc.

Forza attiva e problemi dinamici

È possibile esprimere la forza attiva vista prima in funzione del solo tempo sostituendo nella ( p, v, t) al posto di v̅(t), p̅(t) ottenendo ( p̅(t), p̅(t) ; t ). Analogamente si può esprimere la forza attiva anche in funzione della sala vel. o della sala pos., ma solo se vi è una corrisp biunivoca tra la pos e t e tra la vel e t.

Nota la forza ho trovato i moti comp con essa → Problema dinamico diretto

• Si chiamano inversi, invece, i problemi nei quali è assegnato il moto e devo trovare la legge di forza che l'ha determinato (le incognite di questo tipo di problemi, sono dinamiche). Nota \(\overrightarrow{\text{OP}}\)(t) per trovare \(\overrightarrow{\varphi}\) = m\(\overrightarrow{\text{a}}\) = m\(\overrightarrow{\text{OP}}\)(t) basta derivare due volte \(\overrightarrow{\text{OP}}\)(t). Se vi è una corrispondenza biunivoca t