Equazioni e disequazioni. Equazioni e disequazioni con il valore assoluto

Equazioni e disequazioni con valore assoluto

1) Il concetto di valore assoluto, per esempio di x, può essere riassunto con queste diciture:

|x| = { x se x ≥ 0 -x se x < 0

Il grafico di |x| è di questo tipo:

Per questo si prende una funzione f(x) e si può scrivere:

|f(x)| = { f(x) se f(x) ≥ 0 -f(x) se f(x) < 0

Il grafico della funzione "valore assoluto" coincide col grafico della funzione f(x) nei punti in cui la funzione è ≥ 0 ed il grafico della funzione -f(x) è deducibile dal grafico di f(x) con una opportuna simmetria rispetto all'asse delle ascisse.

Vediamo un esempio qui in seguito:

f(x)

-f(x)

Negli insiemi in cui la funzione è negativa abbiamo operato una simmetria rispetto all'asse delle ascisse.

Quindi f(x) e -f(x), a questo punto, siamo in grado di tracciare i grafici di:

Funzioni lineari: y = ax + b

Quadratiche: y = ax² + bx + c

Omografiche: y = (ax + b)/(cx + d)

E quindi siamo in grado di tracciare i relativi grafici delle rispettive funzioni "veloce e esso h":

y = |ax + b|; y = |ax² + bx + c|; y = |(ax + b)/(cx + d)|

Equazioni

|f(x)| = c    Non ho soluzioni se c < 0

Quindi devo porre c ≥ 0

Definiamo: P_f = {x R; f(x) ≥ 0} ins. di non negatività

N_f = {x R; f(x) < 0} ins. di negatività

Se consideriamo c ≥ 0 ho questo segno:

|f(x)| = c

f(x) = c    se ci troviamo in P_f

-f(x) = c    se ci troviamo in N_f

Esempio: |x² - 3| = 1

Quindi, praticamente, quattro punti (soluzioni) simmetrici rispetto del "0".

Geometricamente opera così:

|x² - 3| = 1

• x² - 3 = 1 in P_f => (-infinity, -sqrt(3)) U [sqrt(3), +infinity)
• x² = 4; x₁ = -2; x₂ = 2
• 3 - x² = 1 in N_f => (-sqrt(3), sqrt(3))
• x² = 2; x₃ = -sqrt(2); x₄ = sqrt(2)

Esempio

|f(x)| = g(x)

Se g(x) < 0 non ci sono soluzioni dell'equazione in quanto

Se g(x) ≥ 0

• f(x) = g(x) in P_f
• -f(x) = g(x) in N_f

Nel caso di: |f(x)| = |g(x)| i casi che considereremo sono quindi:

• P_f e P_g (entrambe positive) => f(x) = g(x)
• N_f e N_g (entrambe negative) => -f(x) = -g(x) => f(x) = g(x)
• P_f e N_g (positiva f, negativa g) => -f(x) = g(x)
• N_f e P_g (negativa f, positiva g) => -f(x) = g(x)

|x² - 2x| = |x/2 + 1/4|

|x² - 2x|

x² - 2x    2x - x²    x² - 2x

|x/2 + 1/4|

-x/2 - 1/4    x/2 + 1/4

x² - 2x = -x/2 - 1/4    (-, -1/2)

x² - 2x = x/2 + 1/4    [-1/2, 0]

2x - x² = x/2 + 1/4    (0, 2)

x² - 2x = x/2 + 1/4    [2, +]

Dunque il nostro problema si riduce a risolvere l'equazione x² - 2x = -x/2 - 1/4

tenendo valide solo le soluzioni che rientrano nell'insieme (-, -1/2) U (0, 2) ed e

risolvere l'equazione

x² - 2x = x/2 + 1/4 tenendo buone le soluzioni

che cadono nell'intervallo [−1/2, 0] U [2, +∞)

Il risultato è che esistono queste soluzioni accettabili:

(5 ± √29)/4,   (3 ± √5)/4

Disequazioni

|f(x)| ≤ K

Consideriamo K ≥ 0

Se K = 0 vuol dire che stiamo andando a studiare la funzione |f(x)| ≤ 0, siccome f(x) non può mai essere strettamente minore di zero, vuol dire che rimane solo il caso f(x) = 0

Se K > 0 |f(x)| ≤ K si traduce così:

f(x) ≤ K in R⁺ ⇒ 0 ≤ f(x) ≤ K

−f(x) ≤ K in R⁻ ⇒ −K ≤ f(x) ≤ 0

Esempio:

|x - 7| ≤ 3

1) 0 ≤ x - 7 ≤ 3

2) -3 ≤ x - 7 ≤ 0

1) 0 ≤ x - 7 => x ≥ 7

x - 7 ≤ 3 => x ≤ 10

[7, 10]

2) x - 7 ≤ 0 => x ≤ 7

-3 ≤ x - 7 => x ≥ 4

[4, 7)

Soluzioni: [7, 10] U [4, 7) => [4, 10]

Il grafico delle soluzioni è il seguente:

|x - 7|

3

4     7     10

|f(x)| >= K

Se K <= 0 il modulo di f(x) >= di un numero strettamente negativo è sempre vero, le soluzioni è l'intero dom f.

Se K > 0 -> in P_f: f(x) >= K

-> in N_f: -f(x) >= K -> f(x) <= -K

Esempio: |(x - 1)/(x + 1)| > 3

(x - 1)/(x + 1) > 3 => (-2, -1)

(x - 1)/(x + 1) < -3 => (-1, -1/2)

Esempio: |(x² - 4)/(3x - |x + 1|)| <= 0

I punti in cui la funzione non è definita sono quelli in cui si annulla il denominatore (zeri) - 3x - |x + 1| -> avrete come unica soluzione 1/2

Quindi il dom f = R \ {1/2}

f(x) = 0 se |x² - 4| = 0, x₁ = -2, x₂ = 2

f(x) <= 0: dipenderà dal denominatore perché il numeratore è sempre positivo

Quindi:

3x - |x + 1| < 0

3x < |x + 1|

3x < x + 1 in [-1, +)

3x < -x - 1 in (-, -1)

L'insieme delle soluzioni è: (-, 1/2) {2}