Disequazioni con valore assoluto

Disequazioni con valore assoluto

Prima di parlare del valore assoluto nelle disequazioni ricordiamo cosa si intende per valore assoluto:

Il valore assoluto di un qualsiasi valore numerico comprende solo il numero senza il segno, quindi è sempre positivo; il valore assoluto si indica con “|...|”.

Formula generalizzata:

|k|=k |-k|=k

Esempio:

|2|=2 |-2|=2

Inserendo il valore assoluto in una equazione

|x|=5

Se il valore assoluto di x deve essere uguale a 5, allora diventa…..x=5

Però bisogna considerare che anche il valore assoluto di -5 è 5, infatti….|-5|=5

Inserendo il valore assoluto in una disequazione il concetto rimane lo stesso

|x|>5

Quali valori sottoposti al valore assoluto danno un numero maggiore di 5?

Semplice, tutti i numeri di valore superiore a 5, però è importante non scordare anche quelli negativi! Infatti le disequazioni che seguono sono tutte vere:

|-6|>5; |-7|>5; |-8|>5

Non sapendo inizialmente se x è negativo o positivo, è necessario utilizzare 2 sistemi in modo da considerare ogni caso di x: uno con x>=0 e uno con x<0 in modo da prendere tutti i casi (x maggiore o uguale a 0, e x minore di 0).

Nel primo sistema, di norma quello positivo, si pone quindi x positiva, e la disequazione nel caso di x positiva.

Nel secondo sistema, quello negativo, ponendo x<0 la disequazione cambia, perché x è negativo, quindi viene -x>5.

Ottenendo le due soluzioni che possiamo vedere nell’intervallo compreso tra le linee continue, le mettiamo insieme su una sola linea, perché vogliamo i valori che rientrano in almeno un intervallo, così otteniamo la soluzione del valore assoluto

|x|>5 soluzione x<-5 V x>5.