Equazioni/Disequazioni risolte per via grafica, Analisi matematica I

Analisi equazioni / disequazioni

Risoluzione esatta

Es: x² - 2x - 6 = 0

x_1,2 = 2 ± √1 + 6 (_{1 + √7} \ ₂)

2 soluzioni

• Risolvere esatta o simbolica
• Risoluzione grafica
• Risoluzione approssimata o numerica

Es: x³ + x - 1 = 0

Con metodi esatti (ad esempio Ruffini) non siamo in grado di risolverla.

Ho soluzioni??

Si utilizza il metodo grafico.

Introduce la funzioni: f(x) = x² - 2x - 6.

Risolvere l'equazione vuol dire trovare il valore di X per cui f(x) = 0.

X = soluzione dell'equazione se e solo se X è uno 0 di f, cioè f(x) = 0.

Risolvere un'equazione equivale a dire trovare gli 0 di una funzione.

Y = f(x): se f(x) = 0 allora Y = 0.

Visualizzo la soluzione grafica e capisco se ci sono soluzioni, cioè se l'asse x viene incontro.

Analisi equazioni / disequazioni: risoluzione esatta

Es: x² - 2x - 6 = 0.

x_1,2 = 2 ± √(1 ± 6) _{(1 - √7)}

2 soluzioni.

• Risoluzione esatta o simbolica
• Risoluzione grafica
• Risoluzione approssimata o numerica

Es: x³ + x - 1 = 0 con metodi esatti (ad esempio Ruffini) non siamo in grado di risolverla.

Ha soluzioni??

Si utilizza il metodo grafico.

Introduco le funzioni: f(x) = x² - 2x - 6.

Risolvere l’equazione vuol dire trovare il valore delle x per cui f(x) = 0.

X è soluzione dell’equazione se e solo se x è uno 0 di f, cioè f(x) = 0.

Risolvere un’equazione equivale a dire trovare gli 0 di una funzione y = f(x): se f(x) = 0 allora y = 0.

Riesalizzo la soluzione grafica e capisco se ci sono soluzioni, cioè se l’asse riesalizzo e emmette.

Es. 2: metodo grafico

f(x): x³ + x - 1.

Grafico? Non lo so disegnare perché x³.

Lavoro esplicitamente sull'espressione.

x³ = 1 - x

{ y = x³

{ y = 1 - x

Esiste un'unica soluzione a:

Quanto vale 1? Non si trova in modo esatto. Troviamo un valore approssimato.

Es. 1: metodo numerico

Metodo di bisezione → teoria di esistenza degli 0.

Metodo di Newton → giustificazione teorica.

Es: x² - 2x - 6 = 0.

Base: trovare un intervallo contenente lo 0, dove localizzare uno 0. In questo caso è [3, 4], cioè compreso ma 3 e 4 dove la funzione da negativa diventa positiva.

Devo trovare il punto medio ma i due punti dove la funzione da negativa diventa positiva e tengo per detto nelle risultate maggiori in precisione.

6° punto medio di (3, 4).

(3+4)/2 = 3,5

f(C₀) = f(3,5)

Ho 3 possibilità:

• f(C₀) > 0
• f(C₀) = 0 -> fine C₀ è il valore cercato
• f(C₀)

f((C₀) = f(3,5) = 3,5² - 2·3,5 - 6 = -0,75.

Siamo nel caso C₀ < 0.

n = 0

n = 1

n = 0 incertezza (3).

Al più b = 0 + 63 + 2.

Perciò abbiamo l'intervallo buono b_n - a_n = b - a / 2.

Itinerario il ragionamento.

C₁ = 3,5 + 4 / 2 = 3,75.

Ho 3 possibilità:

• f(C₁) > 0
• f(C₁) = 0
• f(C₁) < 0

d ∈ (a₁, C₁)

FINE: C₁ è il valore cercato.

d ∈ (C₁, b₁)

Iterazione per precisione dell'approssimazione.

b_n - a_n = b - a / 2ⁿ

Osservazione

Sappiamo che dopo n iterazioni si ha b_n - a_n = b - a / 2ⁿ.

Errore massimo che si commette al passo n-esimo.

Quante iterazioni sono necessarie per avere un errore inferiore ad una soglia prefissata ε > 0!

|b-a| < ε n...

Es. 2

Supponi di avere un'approssimazione di e = 10^-5.

Quante iterazioni sono necessarie, n = ?

|e₁ - 0| < 10^-5

|e₂ⁿ < 10^-5

10 = 5 · 2ⁿ > 12ⁿ > 4, 2ⁿ > 10⁵

log₂ 2ⁿ > log₂ 10⁵

n > 5 log₂ 10 ≈ 16,61^a

• Risoluzione grafica: risponde alla domanda esistono soluzioni?
• Se esistono soluzioni, si possono sempre trovare numericamente (es. metodo bisettrice)
• Eventualmente, due soluzioni si può trovare un valore esatto con metodi algebrici

Disequazioni

Es. 1: x² + 2x - 6 ⩾ 0.

Es. 2: x² + x - 1 < 0.

Es. 1

f(x): x² - 2x - 6.

Y = f(X): trovare i punti (X,Y) della parabola con Y > 0.

Soluzione x ⩽ a, x ⩾ b.

a, b ⸺ 1.

Soluzione a, b.

f(x) = 0 cioè x² - 2x - 6 = 0.

a 0 - √ b = 1 + √.

Es: x² - 9 ≤ 0.

f(x) = x² - 9.

γ = f(x)

⎧ y = 0

⎨ y < 0

a =? Per trovare a si risolve f(x) = 0, cioè x² - 9 = 0, x = ±3.

Soluzione -3 ≤ x ≤ 3.

Es. 2

x³ + x - 1 < 0.

x³ - 1 < -x. Attuando passi algebrici.

y = x³

y = 1 - x

La y₁ e y₂ deve essere al di sopra della y = 1 - x.

Vado a vedere quando la y₂ sta sotto la retta y = 1 - x.

Soluzione y₂ < x < d.

d = ?

d è la soluzione di x³ + x - 1 = 0.

d si può trovare numericamente (metodo di bisezione).

Valore assoluto

Dato un x ∈ ℝ il valore assoluto di x, lo indicheremo con |x|, è il segmento che unisce il punto X con O (origine), cioè la lunghezza del segmento.

|x| _{lunghezza del segmento}

Es. x = 3

|3| = 3

Es. x = -2

|-2| = 2

Proprietà

• |x| ≥ 0, ∀x ∈ ℝ
• |x| = 0 ⇔ x = 0
• |x| > 0, ∀x ≠ 0
• |x| = |-x| ∀x ∈ ℝ

La funzione valore assoluto è pari, cioè cambiando x con -x il valore della funzione non cambia.

Equazioni/disequazioni elementari

Es. |x| = 2 muove i punti x che distano 2 da 0.

Soluzione: x = 2, x = -2.

|x| < 2 muove i punti x i quali la distanza da 0 è minore di 2.

Estremi esclusi.

Soluzione: -2 < x < 2.

|x| > 3 muove i punti x che distano da 0 di più di 3.

Soluzione: x < -3 ∨ x > 3.

Osservazione: fissato un punto C ∈ ℝ si dimostra che la distanza di X da C è data da |x-c|.

Es. |x-3|: distanza di x da 3.

|x+1| = |x-(-1)| distanza di x da -1.

Es. |x-3| = 2: trovare x la cui distanza da 3 sia uguale a 2.

x = 1, x = 5.

Es. |x-3| < 2: trovare x la cui distanza di x da 3 sia < 2.

1 < x < 5.

Es. |x-1| > 4: trovare x la cui distanza di x da -1 sia > 4.

x < -5 ∨ x > 3.

|x-c| < r.

c ∈ ℝ il numero da cui misuro la distanza.

r > 0 la lunghezza delle distanze.

Trovare x tale che la distanza di x da c sia minore di r.

x ∈ (-r+c, c+r).

|x-c| < r ⇔ -r+c < x < c+r.

c ∈ ℝ, r > 0 ⇒ x ∈ (-r+c, c+r).

Definizione: intorno

Dati c ∈ ℝ, e r > 0 si chiama intorno di c di raggio r e si indica I_r(c).

è l'intervallo (-r+c, c+r).

Osservazione: x ∈ I_r(c) ⇔ |x-c| < r: la distanza di x da c è minore di r.

Stare nell'intorno significa stare vicino, non distante più del raggio dell'intorno.

Grafici

F(x) = |x|

|x| = ^{(x se x ≥ 0)}_{(-x se x < 0)}

• Se x > 0: |x| = x. f è pari, f(-x) = f(x).

Il grafico è simmetrico rispetto all'asse y.

1. Del grafico di f(x) il grafico di |f(x)|, es. grafico di |x² - 4x + 3|.
2. Del grafico di f(x) il grafico di f(|x|), es. grafico di x² - 4|x| + 3.
3. f   |f(x)|       II |x| = |f(x)|       f(x) =       f(x)       Se f(x)       |f(x)| =       f(x)       f(x)

Es. |x² - 4x + 3|.

4. Disegnare f(x) = x² - 4x + 3.

Qui il grafico rimane uguale perché positivo.

Pezzo del grafico negativo devo cambiare y con -y.

Es. Disegnare |f(x)|.