Equazioni differenziali ordinarie 21

Problema di Cauchy

Sia u: ℝ → ℝ la soluzione del problema di Cauchy

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u^′′(x) − 5u^′(x) + 4u(x) = 0,

u(0) = 2,

u^′(0) = 5.

(iv) Calcolo delle derivate in 0

Calcolare u^(iv)(0).

Anzitutto si ha

u^′′(0) = 5u^′(0) − 4u(0) = 25 − 8 = 17.

Poi, dalla soluzione,

u^′′′(x) = 5u^′′(x) − 4u^′(x),

da cui

u^′′′(0) = 85 − 20 = 65.

Infine,

u^(iv)(x) = 5u^′′′(x) − 4u^′′(x),

che dà

u^(iv)(0) = 325 − 68 = 257.

Equazione non omogenea

Considerata poi l’equazione

u^′′(x) − 5u^′(x) + 4u(x) = e^4x,

provare che tutte le soluzioni verificano la condizione

lim_x→−∞ u(x) = 0.

Quanto alla seconda parte si ha che l’equazione caratteristica è data da

λ² − 5λ + 4 = 0,

che ha come soluzioni λ = 1 e λ = 4.

Pertanto le soluzioni dell’omogenea associata sono date da

ū(x) = c₁e^x + c₂e^4x.

In questo caso l’esponente del termine noto contiene una radice caratteristica semplice; cerchiamo quindi soluzioni particolari della forma

u_p(x) = axe^4x.

Si ha

u_p^′(x) = ae^4x + 4axe^4x,

u_p^′′(x) = 8ae^4x + 16axe^4x.

Inserendo il tutto nell’equazione si trova

e^4x(16ax + 8a − 5a − 20ax + 4ax) = e^4x,

ovvero a = 1/3.

La soluzione generale è quindi data da

u(x) = c₁e^x + c₂e^4x + 1/3 xe^4x,

per ogni x ∈ ℝ.

Da cui

lim_x→−∞ u(x) = 0, ∀c₁, c₂ ∈ ℝ.