Equazione differenziale ordinaria 23

Problema di Cauchy

Sia u: ℝ → ℝ la soluzione del problema di Cauchy

u^″(x) − 9u(x) = e^−x

u(0) = −1/8

u^′(0) = 1/8.

Calcolare u(log(1/24)).

Soluzione dell’equazione omogenea

L’equazione caratteristica è data da

λ² − 9 = 0

che ha le due soluzioni reali λ_1,2 = ±3. Ne segue che tutte le soluzioni dell’equazione omogenea associata sono della forma

ū(x) = c₁e^3x + c₂e^−3x.

Soluzione particolare

Osserviamo che −1 non è radice caratteristica, per cui cerchiamo una soluzione particolare della forma u_p(x) = ae^−x. Si ha u_p^′(x) = −ae^−x e u_p^″(x) = ae^−x. Dunque deve essere

ae^−x − 9ae^−x = e^−x

per ogni x reale. Quindi si ha a = −1/8. L’integrale generale è dunque dato da

u(x) = c₁e^3x + c₂e^−3x − 1/8e^−x.

Determinazione delle costanti

La condizione u(0) = −1/8 fornisce

−1/8 = c₁ + c₂ − 1/8

e quindi c₁ + c₂ = 0. Poi si ha

u^′(x) = 3c₁e^3x − 3c₂e^−3x + 1/8e^−x,

da cui u^′(0) = 1/8 dà

1/8 = 3c₁ − 3c₂ + 1/8.

Ne segue che c₁ − c₂ = 0; per cui c₁ = c₂ = 0. La soluzione è quindi data da

u(x) = −1/8e^−x.

Calcolo del valore richiesto

Allora si ha

u(log(1/24)) = −1/8e^−log(1/24) = −1/8e^{log 24}

= −1/8 · 24 = −3.