Equazione differenziale ordinaria 23

Sia u : → la soluzione del problema di Cauchy

R R  ′′ −x

u (x) − 9u(x) = e

 1

u(0) = − 8

18

′

u (0) = .



1 .

Calcolare u log 24

L’equazione caratteristica è data da

soluzione. 2

λ − 9 = 0

che ha le due soluzioni reali λ = ±3. Ne segue che tutte le soluzioni dell’equazione omogenea

1,2

associata sono della forma 3x −3x

ū(x) = c e + c e .

1 2

Osserviamo che −1 non è radice caratteristica, per cui cerchiamo una soluzione particolare della

−x ′ −x ′′ −x

forma u (x) = ae . Si ha u (x) = −ae e u (x) = ae . Dunque deve essere

p p p

−x −x −x

ae − 9ae = e

1

per ogni x reale. Quindi si ha a = − . L’integrale generale è dunque dato da

8 1 −x

3x −3x e .

u(x) = c e + c e −

1 2 8

18 fornisce

La condizione u(0) = − 1 1

− = c + c −

1 2

8 8

e quindi c + c = 0. Poi si ha

1 2 1

′ 3x −3x −x

u (x) = 3c e − 3c e + e ,

1 2 8

1

′ dà

da cui u (0) = 8 1 1

= 3c − 3c + .

1 2

8 8

Ne segue che c − c = 0; per cui c = c = 0. La soluzione è quindi data da

1 2 2 2 1 −x

u(x) = − e .

8

Allora si ha

1

1 1

( )

1

− log log 24

= − e e =

u log = −

24

24 8 8

1

= − 24 = −3.

8