Equazioni differenziali ordinarie 13

Risolvere il problema di Cauchy

u'(x) = -u(x)² + u(x) tan x + 1 + tan² x, u(0) = 1.

Sapendo che u = tan x è una soluzione particolare dell'equazione data.

Soluzione

Effettuiamo il cambio di variabile

v(x) = u(x) - tan x;

allora l'equazione data equivale a

v'(x) = -v(x)² - v(x) tan x.

Non cercando la soluzione nulla, possiamo dividere per v(x)²; si trova

v'(x) / v(x)² = -1 - tan x / v(x).

Poniamo ora w(x) = (v(x))^-1; l'equazione diventa finalmente

w'(x) = w(x) tan x + 1,

che ha come soluzioni

w(x) = (sin x + c) / cos x.

Dunque

v(x) = cos x / (c + sin x)

e

u(x) = tan x + cos x / (c + sin x).

Inserendo la condizione u(0) = 1 si trova c = 1, per cui la soluzione è data da

u(x) = tan x + cos x / (1 + sin x).