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Risolvere il problema di Cauchy

u'(x) = - u(x) / x + u(x)2 log x / x

u(1) = 1.

Soluzione. Avendo che u = 0 risolve il problema di Cauchy u(1) = 0, dividiamo i membri per u2; si trova

u'(x) / u(x)2 = - 1 / (u(x)x) + log x / x.

Poniamo v(x) = u(x)-1; allora l'equazione diventa

v'(x) = v(x) / x - log x / x,

che è lineare; si ha quindi

v(x) = cx + 1 + log x.

Quindi

u(x) = 1 / (cx + 1 + log x).

Inserendo la condizione u(1) = 1 si trova c = 0, per cui la soluzione finale è data da

u(x) = 1 / (1 + log x).

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