Equazioni differenziali ordinarie 7

Risolvere il problema di Cauchy

^⎧ x²u"(x) + u(x) = 3_⎩ u(1) = 1.

Soluzione. L'equazione data è lineare; procedendo come al solito si ha

∫ - 1/x² dx = 1/x + k₁

e

∫ 3/x² e^-1/x dx = 3e^-1/x + k₂.

Ne segue che la soluzione generale è data da

u(x) = ce^x + 3.

In definitiva

1 = u(1) = ce + 3

da cui

c = - 2/e.

La soluzione è quindi

u(x) = -2e^-1/x + 3.