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Risolvere il problema di Cauchy

u'(x) + 3x2u(x) = x2u(0) = 1

Soluzione

L'equazione è lineare; calcolando

-3x2 dx = -x3 + k1

e

x2ex3 = 1/3 3x2ex3 dt = 1/3ex3 + k2

la soluzione generale è data da

u(x) = e-x3(c + 1/3ex3) = ce-x3 + 1/3.

Infine

1 = u(0) = c + 1/3 c = 2/3

da cui

u(x) = 2/3e-x3 + 1/3.

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