Equazione di Navier Stokes, Idraulica

Equazioni del moto dei fluidi reali

Equazioni di Navier-Stokes

Equazioni di Navier-Stokes (eq generale fluidi viscosi) = eq. integrali.

Equazione globale di equilibrio

Equazione globale di equilibrio.

Azione di trasparimento di una corrente (azione che il contenuto esercita nel condotto in cui la corrente è contenuta).

Tensore degli sforzi

Tensore degli sforzi

\[ \begin{bmatrix} \Phi_{xx} & \Phi_{xy} & \Phi_{xz} \\ \Phi_{yx} & \Phi_{yy} & \Phi_{yz} \\ \Phi_{zx} & \Phi_{zy} & \Phi_{zz} \end{bmatrix}\]

9 incognite.

Il primo pedice si riferisce alla normale al piano, il secondo alla direzione che stiamo considerando.

In realtà il tensore lo si può scrivere come:

\[ \begin{bmatrix} \sigma_x & \tau_z & \tau_y \\ \tau_z & \sigma_y & \tau_x \\ \tau_y & \tau_x & \sigma_z \end{bmatrix}\]

Ridotto a 6 il numero delle incognite (3σ, 3τ).

Per far diventare queste 6 incognite, 1 sola incognita → Ipotesi fluido perfetto, per avere le 5 equazioni per risolvere il problema.

Per un fluido perfetto σ_x = σ_y = σ_z = P τ_{xy} = 0 τ_{yz} = 0 τ_{zx} = 0.

Equazioni del moto dei fluidi reali

Equazioni di Navier-Stokes

Equazioni di Navier-Stokes (eq. generale fluidi viscosi).

Equazione globale di equilibrio

Equazione globale di equilibrio.

Azione di trascinamento di una corrente (azione che il contorno esercita nel condotto in cui la corrente è contenuta).

Tensore degli sforzi

Tensore degli sforzi

\[ \begin{bmatrix}\Phi_{xx} & \Phi_{xy} & \Phi_{xz} \\\Phi_{yx} & \Phi_{yy} & \Phi_{yz} \\\Phi_{zx} & \Phi_{zy} & \Phi_{zz}\end{bmatrix}\]

9 incognite.

Il primo pedice si riferisce alla normale al piano. Il secondo alla direzione che stiamo considerando.

In realtà il tensore lo si può scrivere come:

\[ \begin{bmatrix}\sigma_x & \tau_z & \tau_y \\\tau_z & \sigma_y & \tau_x \\\tau_y & \tau_x & \sigma_z\end{bmatrix}\]

Ridotto a 6 il numero delle incognite (3σ, 3τ).

Per far diventare queste 6 incognite, 1 sola incognita → Ipotesi fluido perfetto, per avere le 5 equazioni per risolvere il problema.

Per un fluido perfetto σ_x = σ_y = σ_z = P τ_x = 0 τ_y = 0 τ_z = 0.

La sommatoria degli n termini della diagonale del tensore degli sforzi è un invariato.

S = σ₁ + σ₂ + σ₃ = σ_x + σ_y + σ_z.

P = S/3.

Tensore idrostatico e tensore deviatore

Se prendiamo un qualsiasi tensore degli sforzi:

Tensore degli sforzi: [ σ_x τ_z τ_y ][ τ_z σ_y τ_x ][ τ_y τ_x σ_z ]

Tensore idrostatico: [ P 0 0 ][ 0 P 0 ][ 0 0 P ]

Tensore deviatore: [ σ_x - P τ_z τ_y ][ τ_z σ_y - P τ_x ][ τ_y τ_x σ_z - P ]

Tensore deviatore (tiene conto degli effetti della viscosità).

Tiene conto della deviazione del comportamento del continuo rispetto a quello di un continuo perfetto.

Equazioni reologiche

A questo punto, se noi vogliamo considerare il fluido perfetto, dobbiamo scrivere delle eq. che consentono di valutare gli sforzi in funzione di altre incognite. (Equaz. reologiche).

Quando abbiamo definito la viscosità di un fluido abbiamo definita come attitudine di un fluido a trasmettere forze tangenziali e abbiamo definito lo sforzo tangenziale come:

T = μ · du/dn (derivata velocità rispetto alla normale).

Sostituire alla du/dh la derivata temporale della variaz. temporale.

d_γ = du/dh · dt.

dγ/dt = du/dh.

T = μ ·

Nel fluido lo sforzo è proporzionale non alla deformazione, ma alla velocità di deformazione.

Mentre in un solido elastico lo sforzo è proporzionale alla deformazione.

Scrivessimo, stesso ragionamento inferiamo nel piano x, y. Questo elemento traslerebbe di una certa quantità e poi subirebbe una deformazione angolare che ha 2 contributi (uno all’inflessione alla u e uno alla v).

τ_x ∝ dγ_x / dt.

τ_y ∝ dγ_y / dt.

τ_z ∝ dγ_z / dt.

Sforzo tangenziale proporzionale alla velocità di deformazione angolare, (γ̇).

Lo sforzo normale è proporzionale, invece, alla sola velocità di deformazione lineare (nella loro direzione). E si scrive:

(σ_x – P) ∝ dε_x / dt.

(σ_y – P) ∝ dε_y / dt.

(σ_z – P) ∝ dε_z / dt.

Per tensore deviatore compaiono 3 sforzi normali (σ_x-P…).

Si può