Econometria - i ritardi distribuiti

F. Carlucci – Traccia per un corso di econometria

Modulo V – Modelli dinamici

2. Ritardi distribuiti

Indice del capitolo

• 2.1 Lo schema a ritardi distribuiti .................................................................................... 2
• I moltiplicatori ....................................................................................................... 2
• Schemi parsimoniosi ............................................................................................. 3
• Il modello funzione di trasferimento ................................................................. 5
• Il modello ARMAX ................................................................................................. 6
• 2.2 Lo schema del Koyck .................................................................................................... 7
• Il caso di due variabili esplicative ........................................................................ 8
• 2.3 Il modello delle attese adattive ................................................................................... 9
• 2.4 La stima del modello del Koyck ................................................................................ 10
• Il metodo di stima della griglia .......................................................................... 10
• 2.5 Il criterio di stima dei minimi quadrati non lineari ................................................ 12
• 2.6 Lo schema della Almon .............................................................................................. 14
• La stima del modello della Almon ...................................................................... 15
• La scelta della lunghezza dei polinomi a ritardi distribuiti ............................. 16
• I criteri di Akaike e di Schwarz .......................................................................... 16
• 2.7 Lo schema dello Schiller ............................................................................................ 18
• 2.8 Bibliografia ................................................................................................................. 20

03/03/2005, 5.14 Edizione 2.1

Modulo V – Modelli dinamici

2.1 Lo schema a ritardi distribuiti

Quando l’effetto che una esplicativa produce su un’endogena non si esaurisce tutto al tempo t ma si distribuisce nel tempo è possibile rappresentarlo efficacemente mediante lo schema a ritardi distribuiti.

μ + δ₀x_t + δ₁x_t−1 + … + δ_mx_t−m + u_t (2.1.1)

y_t =

Dove u_t è un residuo aleatorio sul quale si possono fare svariate ipotesi stocastiche.

Il ritardo massimo può essere finito o infinito; questo secondo caso è già stato esemplificato, nella situazione deterministica, dalla (I-2.6.4), che mostrava come il tasso di inflazione atteso, in uno schema adattivo, dipenda da tutti gli infiniti tassi di inflazione misurati in passato. Usando la terminologia introdotta in questo capitolo potremo dire che le attese adattive (in particolare, di inflazione) sono un particolare ritardo distribuito infinito dei valori storici della variabile rispetto alla quale le attese stesse vengono definite.

Utilizzando l'operatore L la (2.1.1) può essere scritta nella forma

μ + (δ₀ + δ₁L + δ₂L² + … + δ_mL^m)x_t + u_t (2.1.2)

y_t =

Ovvero nell'altra, ancora più sintetica,

μ + δ(L)x_t + u_t (2.1.3)

y_t =

Dove si è posto

δ(L) = δ₀ + δ₁L + δ₂L² + … + δ_mL^m (2.1.4)

Nell'operatore L, polinomio di grado m.

Ovviamente, se la dinamica di y_t è rappresentata per mezzo di più di una variabile esplicativa vengono utilizzati più elementi del tipo δ(L)x_t; così nel caso di due esplicative x_1t e x_2t si ottiene il modello, sempre detto a ritardi distribuiti,

μ + δ₁(L)x_1t + δ₂(L)x_2t + u_t (2.1.5)

y_t =

Con δ₁(L) e δ₂(L) polinomi del tipo (2.1.4) di grado m₁ ed m₂ rispettivamente; la generalizzazione al caso di tre o più variabili esplicative è intuitiva.

I moltiplicatori

L'effetto della variabile x_t su y_t è misurato, per i vari ritardi, dai coefficienti δ_τ; così

∂y_t / ∂x_t = δ₀

Indica l'effetto immediato che x_t svolge su y_t ed è pertanto chiamato moltiplicatore d’impatto; l'effetto prodotto, invece, con un ritardo τ è dato dal parametro

∂y_t / ∂x_t−τ = δ_τ, τ = 1, 2, …, m

Detto moltiplicatore ad interim, e la sua somma parziale da 0 ad r<m costituisce un moltiplicatore intermedio. Sommando tutti i moltiplicatori ad interim si ottiene il moltiplicatore totale

m
Σ δ_τ
τ = 0

Che misura l'effetto complessivo della x_t, per tutti i suoi ritardi, sull'endogena y_t.

In modelli lineari come il (2.1.1) e le sue generalizzazioni i moltiplicatori, definiti in termini generali come derivata dell’endogena rispetto al ritardo τ dell’esogena, coincidono semplicemente con i coefficienti dei ritardi τ = 0, …, m dell’esogena stessa. Moltiplicando questi coefficienti per l’incremento dell’esogena si ottiene il corrispondente incremento dell’endogena dopo intervalli temporali τ (da cui il termine moltiplicatore). Si noti che in modelli non lineari viene a cadere sia l’identificazione fra coefficienti e moltiplicatori, sia il carattere globale del moltiplicatore (nel senso che in questo caso a rigore si dovranno considerare solo incrementi infinitesimi delle esogene).

Osservazione 2.1 - Può accadere che il moltiplicatore totale valga zero, pur essendo i vari parametri δ_τ tutti statisticamente ben differenti dall'essere nulli. In tale caso in termini statistici lo schema a ritardi distribuiti è significativo ma in termini economici l'impatto della variabile esplicativa sull'endogena è nullo nel lungo periodo.

Schemi parsimoniosi

Se il ritardo massimo è grande, oppure se il modello contempla più variabili esplicative, ciascuna con il suo schema dinamico, può sussistere nell'equazione un numero di parametri molto grande che fa abbassare notevolmente il numero dei gradi di libertà. La stima dell'equazione diventa pertanto difficile, ed anche impossibile se m è infinito.

Sono state pertanto formulate delle restrizioni sui parametri tali da diminuirne, anche notevolmente, il numero.

Queste restrizioni possono essere più o meno forti, ma in ogni caso vincolano la forma dello schema a ritardi distribuiti che non è più perfettamente libero di adeguarsi ai dati. Tre sono i tipi di restrizioni sui parametri δ che presentiamo: quella razionale, che illustriamo di seguito, quella della Almon, nel paragrafo 2.6, e quella dello Shiller, nel successivo 2.7.

Il primo esempio di vincolo, dunque, consiste nel sostituire a δ(L) il polinomio razionale costituito dal rapporto dei due polinomi ω(L)/ψ(L)

ω(L) = ω₀ + ω₁L + ω₂L² + … + ω_rL^r (2.1.6)

ψ(L) = 1 − ψ₁L − ψ₂L² − … − ψ_sL^s (2.1.7)

Di ordine r ed s rispettivamente. Poiché in generale si riesce ad approssimare bene il polinomio δ(L) mediante il rapporto ω(L)/ψ(L) caratterizzato dalla somma r + s sensibilmente più piccola di m, la sostituzione dell'equazione (2.1.3) con l'altra

ω(L)
y_t = μ + ——— x_t + u_t (2.1.8)
ψ(L)

Permette di risolvere egregiamente i problemi di stima dei parametri senza deteriorare percettibilmente la relazione dinamica esistente tra l’esplicativa x_t e l’endogena y_t. Lo schema a ritardi distribuiti razionali (2.1.8), detto, è un caso particolare di modello a funzione di trasferimento, che descriveremo tra breve.

Moltiplicando per ψ(L) i due membri della (2.1.8) si ottiene

(1 − ψ₁L − ψ₂L² + … − ψ_sL^s)y_t = (2.1.9)

= μ′ + (ω₀ + ω₁L + ω₂L² + … + ω_rL^r)x_t + (1 − ψ₁L − ψ₂L² + … − ψ_sL^s)u_t

Con

μ′ = (1 − ψ₁ − ψ₂ − … − ψ_s)μ

Nella (2.1.9) l’endogena y_t viene moltiplicata per un polinomio in L di grado s, per cui essa è presente con il valore corrente, e con i valori ritardati fino all'y_t−s, s-esimo: questa configurazione è detta schema autoregressivo di ordine s ed è indicata con l'acronimo AR.