Appunti Econometria

Chinaz.ee#--7zizrna# Problema 1 economico

Per l'elasticità benedidella rispettodomanda aldimisurare proprioesempio prezzoconsumoun)f- elasticità diretta )Qla funzione di quantitàfunzione f-di :produzione (prezziè una = pe \/'quantita prezzoLjIlEap = _ .elasticità dev'l' quantitàperche positivaessere eunala domanda inclinata negativamentedi ècurva )[E c- geco sensibilitàelasticità reattività prezzida indicazioni domandadellasulla ai: =L quandoelevata domandala prezzimoltovaria varianose i(per il di birradi lamarchiodianche domandaaumentandoesempio prezzopocose un )diminuiscebene altro marchiospostamoltoquelper si verso uneI l )bassa ( domandaquandodomandala i prezzi rigidavariase poco variano

Modello 2 economico

↳ funzione domandatraduce matematicaun' dilaespressioneinIpotizziamo tra Q linearesemplicità che la relazione siaper :peQ-TIP )b ( inclinatadiperchedi domandala0 negativamenteèdomandamodello < curva→=Dato elasticitàl'tra" il" modellopontecostruiremodelloil unpossiamo :e.lyµ scalaEap = -coeff rettadellaangolare variabile dipendenteQdove laè Slope)(l'esplicativaPe P Sa^ Ddomanda verticale◦ ↑ 51%f- -- - - --{ sensibileperfettamente laEpa domandadiop 0- curva non e a= =p •- - ---- E, 1) variazioni/ elasticarigida prezzodelnon ' aa-P l' equilibrioequilibrio quandodiprezzo è: Ei-, a-consumatoriI produttori che poterehanno dii mercatocontinuano consumare pienoa e ,)( l' completamentemonopolio consumatorescaricano prezzo sulaumento del,

Monopolio

Monopolio= )( tauerconsumatoremonopolista Price Maker price:: ; --ÈÈa dell' consumatoredelintero surplusconoscere importante produttore sul mercatoil perche regalae sipera .P adomanda la di domandaEorizzontale estremamente→ :◦ 00 o→ curvaPoiF ☐ deisensibile prezzivariazioniaÈPerfetta

Concorrenza

Concorrenza=( itecnologicotante prodotto produttori praticanoimprese nonomogeneapiccole unpocoÀ la benealtrimenti diventadomanda i produttorisuo nullaprezzo ;ilasuperiore nonper, F tenderebbeinferiori infinito situazionedomanda lapraticano altrimenti la adprezzi a e, )diventerebbe insostenibile produttoreilper variabilel' dipendebenedomanda dilama ancheil daldescrivere →per prezzo è unicanonunilreddito benideglimonetario altriprezzoe)( + lache linearedetto relazionenon siaè 'definizione di( ) quantitalei+ e ?medioprezzo( dall' abilitàdipendevogliamo chedeterminare salario caratteristicheil da alcuneesper e. ,)?individuale → misurarlama come

Statistico 3 modello

(dell' funzionaledovuta formaModello incertezzatiene alla allemodellodelcontoche ,)variabili variabiliquestedimisuraallaomesse ePOIatb① = ↳ )termine (di disturbo osservato/ vaerrore non= ;variabile osservata misurataproxy errorenon con: / economichevariabili

Osservazioni sulle 4 dati

i ai dativogliamo applicare modellitraDistinguiamo variabili : )(storiche Tttempoevolvonoserie 1nel: -- ... ..mm NÈ dimensioneicambiano (tra individuiSector del-1cross campione:- - .. .. , ✓mmmPIL di laPIL valutare evoluzioneguardareEs tempopaeseposso nelal suaun e-. f-PILstorica T1serie := t\ ... ., . " confrontarliPILalguardare "di dipaesipiùposso anno eunSector Pili Ncross 1= : i =-\ .. ., ,, panel)PIL ( variabilivariabili doppio indiceconit =ottengo bptout til→ modello T1Qt a += - .. . ,.,1I 1 variabili /gli indicizzatielementi sonogli costanti parametrialtri sono ,variabili distintelema loro involtavengono a : )'osservate Pt(} quantita atprezzoes ee- .)( abbiamo osservazionicuisu } )(osservate es Vtnon errore- .stimabilile costanti notesonoinvece manonobiettivo stimatori ⇐stimare i parametri con: /

5 stimatore stima

\Ittero datistatistico o )(Affidabilità ipotesiStime6 delledelle provaPrevisione7 variabili disullefareil previsioneusiamo interessemodello perbptQt t TES Ut 1→a →= -. ..., > )birra( bIpotizziamo stimatoridi dati Pt domanda disu +diavere Qt prezzi a ee e5è 7 -0.5stimeotteniamo le due =→ e = 1)) f-Vogliamo fuorif- domaniprevedere valoreil Ttrelativo modellodal→Toggi aÒÓ È PTU t PTM0.5= → = 'tu -le previsione= il statisticomodello domanivalidoIPOTESI valido anche: oggi è◦( PTdevo) conoscere+

11 lineare regressione il modello dic- T1= .. .,

Introduzione

:→ ÈPtSCALARE pt opyxtyt PrBaxterversione pu Ut Ut✗ →: ti tr✗◦ ✗→ tua- → =.... .. 1←/eletnerti /\ /I rispettoindicizzati altempo variabili:variabili:✗ esplicative / iregressotr /Pr noteparametri costanti: non variabile costantela esplicativaIEEE intercettaèprima unamaunanon: t T1 1ti✗ = = ... ,,, prdeiInterpretazione parametri :0¥ divariatot pocoper divariazione marginale xtrse= =dxtr diMARGINALE suntXtr= EffettoSe pt Poitàut2 itle modellopropri poiUt di: primapaxt ut✗tre ]=xtz- →+= →↑ ↑PtQt :

Matriciale versione

• ;)=/)=/=/ }| ) 1×12 ×✗ 13Èil % - . .! 1 ? "}? "? leti . ..Èxp tu dove= ¥? in ¥i :P ;= ,"T .txnun/ ,Pt Ut ✗✗ XT TU}T2TXU ..."

Ipotesi classiche

→Ipotesi sugli ✗Uerrori sullae )1) ) (( / )E ≥u tte -1-0ovvero TUt= .. . ..1 1TX✗1-2) TÈ) It dimatriceECUU degli errori' covariantevarianze e==TXT )=/ " "" ut"° usuV22' U④ t ≠ s-" ?Ut. " . vi| =/ (g)) } ("con»< " " [°"°" e '" ☐i) _( 02Varcut' It) qua)UUE /= =E =utz .e .' .TXT .. ,. , ( )) ornoschedasticità( ohivar ftut = , )) (ttCalicut s0 incorrelazioneUs -, ,3) deterministica /✗ stocastica: non)' -14) ( )ha' esiste(T '✗ ✗ ✗→ ✗ singolarerango →a < → ×=rango non ✗pienoKXU↳ (a)la indipendentihamatrice colonne linearmente× )1+2+3+4 (modello classicodi CLRMregressione lineare→

Stima parametri §dei

→↳ AlCRLTERLO NUNINU QUADRATIÈ '2 U uUtmipn =+ 1✗^ T✗ T|parametria )condizioni (ordinedel FOCprimodÙ e=UA nn1✗te| :#FÈ ti piu tiB o xp0 N= =→ -. . xp))( 'u' (ti Nxpu: = - -%÷ }' (' incognite f)Sistemaxp lineare✗ di0✗ epurazioniK in Ky in=- unaxuuxn uxt ,, × }' ✗ 'B- ""✗ epurazionisistema di normaliK× y= invertibile haperche rango pieno§ ') )'( _ dei ordinari (' minimistimatore asX quadrati✗→ :y✗=1✗apò )) -1 ' ) '1 '( ( ') -1( )' ' '' '( (xp×× -✗ ✗ - xp ✗× × ✗✗ ✗✗y ×u → U= + == -7 fan↓ ↓ casualinotinon -randomnonmacasualipi combinazione degli quindilineare errori lei casualeancheè è,pi ') samph-ebia.si''(p _ ✗× ≠✗ →u= o- distorsione aldovuta campionelo ]parametriesattidàstimatore deivaloriinonlo damediainstimatore i ⇐ai deiveri valorici parametrimq .

Proprietà → OLS dello stimatore

1) ]pò[Non E =pdistorsione :[ ] ^[ ] -1§ ) EHI' il) bias' valore(' ✗( ' sampleE del→-× atteso0✗Ep × zeroè✗ ✗= =u =-↳ pò ]pi ] [[ pE =peo= →-2) Efficienza §)colpi matrice didi varianze covarianza kxu= e" ] ][§ ^] →pi -1) ' )^ ))[ )-1' ' ''' /[) ) '( ( () ' -) ' (Le( E''' ( ×( -( ✗E ×E ' ✗ ✗ ×_p ✗ ×✗p ×✗ ✗✗ ✗ ✗× ✗ ×UU UU== =- - ☐ ÷11 ✗U il ÷✗ ..^)TI -'/ ×✗= ]) pi' Var2µL )(X✗ 7--1 K= y☐ y ... ,,, ] Dimostrazione dell'valutarePer efficienza teoremastimatore alternativoconsideriamo as Gaussdiuno :a, MarnaÈ ]§[ ^) '' Ay( -=L ✗×✗ y =y =TT1 ✗a✗a 1✗1) stocasticaL textdi dimensione:i p non+.più )/ tuXp Xp=LL e→ u] Pierpoi ][ [ [ ]↳ xp Xp distortoxpE LEE inLu =L=LL generaleu+= - →"2) In✗L oIp =. TTX i lU ✗poi distortoei non abbiamo distortoperche supposto che ei non↑colpi ]) ][ [pie )B) § [' ] the '(( LLL'E LUU l LEE ' 'p= =UU==- -,UX k ) FÈ( =samplebiaspi Lop= =- picpi -1) The→ ))the '( LL( ( cov'ca vs✗ ×= =↑ distortostimatorequalsiasi inlinearenon yeRiscriviamo L modonel seguente :^) '( D'L - ✗× a✗= ↳ stocasticagenerica matrice non=-1) )' (' 0( DXXLX tra✗ loroD× ortogonaliDX✗ ✗ disono→ =→= e." TÈ

Confronto

: #' XXI]][ [ ^1)^ 1) ' D'' )' ^ '' (' ' ) ')'(( DD'' (D (ad- ✗ DX✗ ✗- --LL × X× ✗ ✗✗ × -✗ ×✗ aa = → →= =óE) 1' '( DD× -✗= oIn ) ' '' Nn'the DD/LL -X✗o= → ETJin defsemi positivacolpi pi) ) ( )definitaCal→ matrice positivasemi ≥ 0=- }/teorema efficientelo stimatore stimatorepiù di lineareas correttoaltroqualsiasia eDiGauss )( Linear biasedbestBLUE classichestimatoreLo sotto ipotesiestimatori leè un=maruov ,

Distinzione /tra actual / residual fitted

→Actual valori osservati y=◦ : 1T ✗ )( birravalori osservati didomandadellaes . piIFilted valori previsti ✗= :• = 1TXU UX1TXÙ jResidua residuivalori5- :◦ y= -^✗1- ^ 1TX TX↳ §Ù utejt.tt T1y =+ yt= = . . ., .1 ↳ diparte modellodalspiegatayparte dei modellodalspiegatanony ')È ''J ( -}valori =P ✗ ×✗previsti ×ProtezioneMATRICE Diy✗ y == = =: pigro§ =TXT dimatrice proiezione= }Residui J )(Ù ANNI PCITATA ITMATRICEPy My =: yyy == = = -= -- myrag ,M= TXT annichilitamatrice=

Proprietà P→ matrici delle Mi

E'1) PSimmetria =p-\ mi M= [ ]'2) # '1)¥-1 '(PP ' )'Idem ((potenza =p=p × ×× ✗ _-✗✗ ×= ✗[ MM M- ( )3) Ortogonalità =pPM p P pp 0pIt po=: → == -- - ¥-1 #)( X-p)( 0OMXcorollario I P ✗: × ✗✗no × ==✗t == = ---ÙJoSappiamo che Pytmyg- = laortogonalità parte modellodaldispiegata spiegatanon→ e yortogonali separatesono sonoB.N Errori residuivs. osservabili(1) XpU y= → non- §ji osservabili✗y g-= -=- )][(2) entrambihanno( ipotesiE ] valore