Econometria - i processi stazionari

F. Carlucci – Traccia per un corso di econometria

Modulo XI – Serie storiche: il dominio frequenziale

1. I processi stazionari

Indice del capitolo

• 1.1. Le serie storiche come realizzazioni di processi aleatori............................... 2
• 1.2. Caratteri stocastici delle serie storiche .......................................................... 3
• Stazionarietà (in senso debole) .................................................................. 3
• Funzioni di autocovarianza e di autocorrelazione ................................... 3
• Il rumore bianco.......................................................................................... 3
• Processo periodico....................................................................................... 4
• 1.3. La scomposizione del Wold.............................................................................. 5
• 1.4. Lo spettro .......................................................................................................... 7
• 1.5. Le rappresentazioni spettrali.......................................................................... 9
• 1.6. La rappresentazione spettrale del processo aleatorio stazionario ............. 11
• 1.7. Il processo bivariato ....................................................................................... 12
• 1.8. Le funzioni spettrali incrociate ..................................................................... 14
• 1.9. Il processo multivariato ................................................................................. 15

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Modulo XI – Serie storiche: il dominio frequenziale

1.1. Le serie storiche come realizzazioni di processi aleatori

Le caratteristiche delle serie storiche economiche sono

• La tendenza, che riguarda il livello, eventualmente crescente o decrescente, delle serie,
• Le stagionalità,
• Il ciclo,
• Le accidentalità, che riguardano la componente residuale che si ottiene eliminando i tre caratteri precedenti,
• La variabilità, che anche può essere crescente o decrescente, oppure più alta in certi periodi e più bassa in altri (volatility clustering).

Queste caratteristiche sistematiche sono il soggetto dell’analisi oppure della rappresentazione mediante modelli.

Una serie storica economica è una successione di valori associati ad un indice temporale t variabile da 1 a n { ( ) ( ) ( )} (1.1.1) x 1 , x 2 , ..., x n considerata come una parte finita di una realizzazione { ( ) ( ) ( ) ( ) ( )} − ∞ − + ∞ x , ..., x 1 , x 0 , x 1 ,..., x di un processo aleatorio discreto (nel tempo) { ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}~ ~ ~ ~ ~ − ∞ − + ∞ x ,..., x 1 , x 0 , x 1 ,..., x che possiamo ancora, per traslazione, chiamare serie storica e che indichiamo in forma compatta con { ( )}~ (1.1.2) x t

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Modulo XI – Serie storiche: il dominio frequenziale

1.2. Caratteri stocastici delle serie storiche

Denotiamo con [ ]( ) ( )~ = μ ∀ (1.2.1) E x t t t { ( )}~ il valor medio della serie , eventualmente variabile nel tempo, e con x t ( ) σ =2[ ][ ]{ ( ) ( ) ( ) ( ) } t s t~ ~− μ − μ = ∀ (1.2.2) E x t t x s s t( )γ ≠ t , s s t il momento secondo centrato.

Stazionarietà (in senso debole)

Spesso le caratteristiche delle serie storiche economiche sono invarianti nel tempo, per cui le (1.2.1) e (1.2.2) possono semplificarsi nelle altre [ ( )]~ = μ ∀ (1.2.3) E x t t  σ < +∞ =2[ ][ ]{ ( ) ( ) } s t~ ~− μ − μ = ∀ (1.2.4) E x t x s t( )γ − = γ τ ≠ (t s) s t dove il valor medio è costante, la varianza è costante e finita, e le (auto)( )γ τ τ = ± ± covarianze sono funzioni del ritardo temporale che, 1, 2 , ..., t−s ( ) ( )~ ~ separa da . Le (1.2.3) e (1.2.4) costituiscono le condizioni di x t x s stazionarietà (in senso debole) del processo aleatorio (1.1.2). In particolare, { ( )}~ la (1.2.3) caratterizza la stazionarietà in media di . x t

Funzioni di autocovarianza e di autocorrelazione

( )γ τ τ, considerata come funzione del ritardo , è detta funzione di autocovarianza. Essa è pari ( ) ( )γ τ = γ − τ τ = ± ± 0 , 1, 2 ,...

Normalizzando con la varianza si ottiene la funzione di autocorrelazione ( ) ( )ρ τ = γ τ σ τ = ± ± (1.2.5)2/ 0 , 1, 2 ,...

Il rumore bianco

Se le (1.2.3) e (1.2.4) sono [ ( )]~ = ∀ (1.2.6) E x t 0 t

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Modulo XI – Serie storiche: il dominio frequenziale

 σ τ =2[ ] [ ]{ ( ) ( ) } 0~ ~ =  ∀ (1.2.7) E x t x s t τ = ± ±  0 1, 2 , ... il processo aleatorio (stazionario) è detto rumore bianco.

Processo periodico

Sia [ ]( ) = · λ + · λ ∈ − ∞ +∞ (1.2.8) x t a cos t b sin t t ,~~ con parametro reale prefissato; e variabili aleatorie incorrelate, con λ a b () ( )( ) ~ ~~ ~= = · =, , eE a E b 0 E a b 0 ( )( ) ~~ = = σ (1.2.9)2 2 2E a E b

Allora [ ]( )~ = ∀ (1.2.10) E x t 0 t [ ][ ]{ }[ ] [ ]( ) { ( ) ( ) } ~ ~~ ~ ~ ~γ = = · λ + · λ · λ + · λ = t , s E x t x s E a cos t b sin t a cos s b sin s (1.2.11) [ ] ( ) ( )= σ λ · λ + λ · λ = σ · λ − = σ · λ τ = γ τ 2 2 2cos t cos s sin t sin s cos t s cos τ = ± ± τ = − per avendo posto .0 , 1, 2 ,..., t s

Le (1.2.10) e (1.2.11) soddisfano alle (1.2.3) e (1.2.4) e quindi il processo definito dalla (1.2.8) è stazionario, con funzione di autocovarianza ( ) ( )ρ τ = σ · λ τ σ = λ τ τ = ± ± (1.2.12)2 2cos / cos 0, 1, 2 ,... ~

Il processo è composto da una oscillazione di ampiezza aleatoria (generata da e a~ ), ma di periodo T fisso b π λ =T 2 / λ π misurato in “(unità di tempo)/ciclo”. L’inverso di T è la frequenza , misurata / 2 in “porzione di ciclo per unità di tempo”. λ

La frequenza angolare è misurata in “radianti per unità di tempo”.

Il processo aleatorio stazionario generato dalla (1.2.8) è composto da una λ oscillazione sinusoidale di frequenza angolare fissa . Inoltre, poiché ( ) ( )λ + π = λ λ + π = λ ecos 2 h cos sin 2 h sin [ ]