Econometria - i filtri lineari

F. Carlucci – Traccia per un corso di Econometria

Modulo XI – Serie storiche: il dominio frequenziale

2. Filtri lineari

Indice del capitolo

• 2.1. Sistemi lineari................................................................................................... 2
• 2.2. La funzione di guadagno del sistema.............................................................. 4
• 2.3. La funzione di coerenza ................................................................................... 5
• 2.4. La funzione di fase ........................................................................................... 6
• 2.5. Filtri lineari ...................................................................................................... 7
• 2.6. Lo pseudospettro............................................................................................. 10
• 2.7. Il sistema multivariato .................................................................................. 11

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Modulo XI – Serie storiche: il dominio frequenziale

2.1. Sistemi lineari

{ ( )}{ ( )}~ ~Consideriamo due processi aleatori e , singolarmente e congiuntamentey t x tstazionari in senso debole, con valori medi[ ] [ ] [ ]( ) ( )~ ~= µ = µ ∈ − ∞ ∞, ,E y t E x t t ,y x( ) ( )γ τ γ τfunzioni di autocovarianza , , e funzione di covarianza incrociatayy xx( )γ τ , che siano legati dal sistema lineareyx

∞ ∞[ ] [ ] [ ]( ) ( ) ( ) ( )∑ ∑− µ = − − µ = ⋅ − µ = ⋅ − µs (2.1.1)y h x t s h L x t H L x tt y s x s x x= −∞ = −∞s s

[ ]∈ − ∞ ∞dove , è l’operatore di ritardo e è un polinomio in doppiamentet , L H(L) Linfinito. [ ]∈ − ∞ ∞I pesi , , sono una successione di costanti e costituiscono lah s ,sfunzione di risposta all’impulso del sistema; sono generati dalla cosiddetta funzionegeneratrice dei pesi

∞( ) ∑= s (2.1.2)H L h Ls= −∞s

τ = ± ±Utilizzando la (2.1.1) si ricava che, per ,0 , 1, 2 ,...

[ ]{ }  ∞[ ] [ ] [ ]∑( ) ( ) ( ) ( ) ( )~ ~ ~ ~γ τ = − µ − τ − µ = − − µ − τ − µ = E y t x t E h x t s x tyx y x s x x = −∞s (2.1.3)∞∑ ( )= ⋅ γ τ −h ss xx= −∞s

e prendendo la trasformata di Fourier del primo e dell’ultimo membro

∞ ∞ ∞( ) ( ) ( ) ( )∑ ∑ ∑γ τ ⋅ − λτ = ⋅ γ τ ⋅ − ⋅ − λτexp i h s exp iyx s xxτ = −∞ τ = −∞ = −∞s

[ ]π = − τ λ ∈ − π πdalla quale, dividendo per e ponendo , si ottiene, per ,2 u s ,

∞ ∞( ) ( ) ( ) ( )1 ∑ ∑λ = ⋅ γ τ − ⋅ − λτ ⋅ λ =g h s exp i exp i uπyx s xx2 τ = −∞ = −∞s (2.1.4) ∞ − ∞ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1∑ ∑= ⋅ γ − ⋅ λ ⋅ − λ = λ ⋅ λh u exp i u exp i s H g πs xx xx 2= −∞ = +∞s u

( ) ( )γ λ λdove è stato sfruttato il fatto che è funzione pari e è la funzione didensità spettrale di . Lax t

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Modulo XI – Serie storiche: il dominio frequenziale

∞ ∞ [ ]( ) ( ) ( )∑ ∑λ = ⋅ − λ = λ − ⋅ λ λ ∈ − π π (2.1.5)H h exp i s h cos s i sin s ,s s= −∞ = −∞s s

è la trasformata di Fourier della funzione di risposta all’impulso, detta funzione di( )λtrasferimento del sistema lineare. Si osservi che può essere ottenuta dallaH( ) ( )− λsostituendo al posto di .H L exp i L

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Modulo XI – Serie storiche: il dominio frequenziale

2.2. La funzione di guadagno del si