Dinamica e controllo - parte 2

29/03

Il nostro problema è del tipo ∑_i a_i y⁽ⁱ⁾(t) = ∑_j b_i u^(j)(t) u ≥ u simple In simple Out

Con le condizioni iniziali: y⁽ⁱ⁾(0) = y_0,i i = 0, ..., u−1 y^(j)(0) = 0 j = 0, ..., u−1

Tutto è trasformabile.

La soluzione nel tempo è univoca di due termini.

Risposta forzata (y_f) e risposta libera (y_l)

y(t) = y_l(t) + y_f(t)

Risposta libera

Omogenea associata

∑ θ_i y⁽ⁱ⁾ = 0

y⁽ⁱ⁾(0) = y_0,i

y_l = ∑ ∑_i ^R_i,κ/_k! t^κ e^{R_i t}

y_f = ∫_−∞^+∞ u(t) w(t−τ) dτ w risposta dell'impulso

23/03

Il nostro problema è del tipo _∑i a_i y⁽ⁱ⁾(t) = _∑i b_i u⁽ⁱ⁾(t) μ≥ν

Con le condizioni iniziali: y⁽ⁱ⁾(0) = y_{0, i} i = 0, ..., μ-1 u^(j)(0) = 0 j = 0, ..., μ-1

Tutto è trasformabile.

La soluzione nel tempo è univoca di due termini.

Risposta forzata (y_f) e risposta libera (y_ℓ)

y_(t) = y_ℓ(t) + y_f(t)

Risposta libera omogenea associata

_∑ a_i y⁽ⁱ⁾ = 0

y⁽ⁱ⁾(0) = y_{0, i}

y_ℓ = _{∑ i ∑ κ} R_{i, κ} t^κ _κ! e^{p_i t}

y_f = ∫ _-∞^+∞ u(t) w (t-τ) dτ

Risposta forzata

_∑ a_i y⁽ⁱ⁾(t) = _∑ b_j u^(j)(t)

y⁽ⁱ⁾(0) = 0

w risposta dell'impulso

Come calcoliamo ψ, la risposta all'impulso?

Portiamo a trasformare

L [ Σ a_i y⁽ⁱ⁾(t) ] - L [ Σ b_i u⁽ⁱ⁾(t) ] = 0

Σ a_i (sⁱ Y(s) - Σ y_0,i s^j) = Σ b_i sⁱ U(s)

Σ a_i sⁱ Y(s) - Σ a_i Σ ψ_0,i s^j = Σ b_i sⁱ U(s)

Y(s) = ^{Σ a_i Σ y_0,j sj}/_{Σ ai sⁱ} + ^{Σ b_i si U(s)}/_{Σ ai sⁱ}

Y(s) = ^Q(s)/_D(s) + ^N(s)/_D(s) U(s)

Dipende dal sistema.

Dipende da ingresso e i modi del sistema.

D(s) sono i coeff dell'equ. omogenea.

N(s) dipende dai coeff ingresso del sistema U-I.

Q(s) dipende dalle c.i. e dai coeff interni del sistema U-I.

Y(s) = Y₀(s) + Y_s(s) → Risposta forzata.

Risposta libera

y(t) = L⁻¹ [Y(s)] = y₀(t) + y_s(t)

- Sistema stabile/instabile con radici D(s) e

Stabilità BIBO

Stabilità BIBO → Bounded In Bounded Out

BIBO → Ad un ingresso limitato il sistema ha una risposta limitata

Per un sistema SISO LTI il rapporto

G(s) = N(s) / D(s)

è una funzione razionale che ha al numeratore e denominatore i polinomi in s, quindi trasformati, costruiti con i coefficienti di ingresso e uscita della equazione differenziale che definisce il modello ingresso-uscita del sistema.

Funzione di trasferimento

Definiamo funzione di trasferimento G(s) di un sistema lineare e stazionario (LTI) quella funzione di s che moltiplicato per la Trasformata di Laplace dell'ingresso U(s) fornisce la trasformata della risposta forzata Y_f(s)

Y_f(s) = G(s) U(s)

Se U(s) = 1 allora Y_f(s) = G(s) ma U(s) = 1 è un impulso → G(s) rappresenta la risposta impulsiva trasformata

Risposta in regime permanente e risposta transitoria

Risposta in regime permanente e risposta transitoria l'evoluzione della risposta in un sistema LTI a fronte di una sollecitazione è scomponibile in

Ψ(t) = Ψ_e(t) + Ψ_f(t)

La risposta libera Ψ_e abbiamo visto come dipenda dai poli, ρ, e i residui, R, dipendono dalle condizioni iniziali: Ψ_e = Σ Σ _Rit^ke^ρit / j! la risposta forzata Ψ_f dipende dalla funzione di trasferimento e dall'ingresso

Ψ_f = ℒ^-1[G(s)U(s)]

Se si suppose l'ipotesi che l'ingresso U(t) sia una combinazione di esponenziali complessi:

U(t) = Σ α _t^μi / μ! e^β_it ℒ U(s) = Σ _αi / (s-β_i)^μ_i

Consideriamo la trasformata della risposta scritta in fratti semplici:

Y_g(s) = Σ^l_i=1 Σ^r_i