Dimostrazioni corso Tecnologia, meccanica e qualità

Lavoro e materiali

Lavoro_u = ∫₀^ε₁ σ dεL = u · V

Materiale perfettamente plastico

u = Y · ε₁

Materiale con incrudimento

u = ∫₀^ε σ dε = ∫₀^ε k εⁿ dε

u = (k εⁿ⁺¹) / (n+1) = Y εⁿ

Tensione di flusso media Y = (k εⁿ) / (n+1)

Lavoro_u = ∫₀^ε_u δ dε L = u . V

Materiale perfettamente plastico

u = Y . ε_u

Materiale con incrudimento

u = ∫₀^ε δ dε = ∫₀^ε k ε̂ⁿ dε

u = ^{k ε̂n+1}/_n+1 = ^Ŷ ε̂

Tensione di flusso media Ŷ = ^{k ε̂n}/_n+1

Brinell e calcoli vari

• HB = 0,102 ^F/_S
• S = 2πR_bh    h = R_b - √(R_b² - R_i²)
• S = 2πR_b(R_b - √(R_b² - R_i²))
• R_b = ^D_b/₂    R_i = ^D_i/₂
• S = 2π^D_b/₂(^D_b/₂ - ¹/₂√(D_b² - D_i²))
• S = ¹/₂πD_b(D_b - √(D_b² - D_i²))
• HB = 0,102 · ^2F/_{πDb(Db - √(Db² - Di²))}

Direzione forza e tensioni

• F_N = F · cosα
• F_T = F · senα
• A_α = \( \frac{A_{1}}{\cos \alpha} \)
• Tensione normale σ_α = \( \frac{F_{N}}{A_{α}} \) = \( \frac{F \cos^{2} \alpha}{A_{1}} \)
• Tensione tangenziale τ_α = \( \frac{F_{T}}{A_{α}} \) = \( \frac{F \cos \alpha \sen \alpha}{A_{1}} \)
• σ = \( \frac{F}{A_{1}} \)
• σ cos²α σ cosα senα
• τ_max = \( \frac{σ}{2} \)

Conservazione del volume

Partendo da:

• ε₁ = ¹/_E (σ₁ - υ (σ₂+σ₃))
• ε₂ = ¹/_E (σ₂ - υ (σ₁+σ₃))
• ε₃ = ¹/_E (σ₃ - υ (σ₁+σ₂))

υ = |^{ε trasversale}/_{ε longitudinale}|

Per conservazione ε₁+ε₂+ε₃=0

¹/_E (σ₁+σ₂+σ₃) - ^υ/_E (2σ₁+2σ₂+2σ₃) = 0

¹/_E (1-2υ) (σ₁+σ₂+σ₃) = 0 ⇒ υ=0,5

Criterio di Tresca

max = C_max = ^{max (_i) - min (_i)}/₂

C viene calcolato a partire da una prova di trazione ⇒ sollecitazione monoassiale

₁ > 0₂, ₃ = 0

max = ^₁/₂ = C

Chiamando ₁ = Y ⇒ max= ^Y/₂ = C ⇒ Y/2 = max (_i) - min (_i)

Metodo dello slab

Hp: Deformazione piana   ε_x, ε_y > 0   ε_z = 0

Materiale perfettamente plastico

μ > 0   senza imbarlimento

x,y,z direzioni

Obiettivo : calcolare σ_y(x) e σ_x(x)

Si prende una quota dx dell’elemento

Ricaviamo tre relazioni:

1. δ_y h · μ - (δ_x + dδ_x) · h · ψ - 2μ δ_y dx · χ = 0
2. dδ_x · h - 2μ δ_y dx = 0
3. ε_z = dε_z = 0

dε_z = d2 (δ_z - ^{δ_x + δ_y}⁄₂) = 0

δ_z = ^{δ_x + δ_y}⁄₂

(δ_x - δ_y)² + (δ_x - δ_z)² + (δ_y - δ_z)² = 2 y²

(δ_x - δ_y)² + (δ_x - (δ_x + δ_y) / 2)² + (δ_y - (δ_x + δ_y) / 2)² = 2 y²

Da cui:

3/2 (δ_x - δ_y)² = 2 y²

(δ_x - δ_y)² = 4/3 y²

Condizioni al contorno: δ_x(x)|_x=2 = 0

δ_y(x)|_x=2 = 2 / √3 y ⇒ δ_x = δ_y - 2 / √3 y

Ricavate le tre relazioni; otteniamo:

dδ_xh + 2μ δ_y dx = 0     pongo dδ_x = dδ_y

dδ_yh + 2μ δ_y dx = 0     pongo δ_y = PdP h + 2μ P dx = 0

^dP⁄_ρ + ^2μ⁄_h dx = 0

- ^dP⁄_ρ = ^2μ⁄_h dx = 0

- ∫_ρ^{P_e dP}⁄_ρ = ∫_x^{a 2μ}⁄_h dx

ln ^P⁄_Pe = ^2μ⁄_h (a − x)

P = P_e · e^{2μ⁄_h (a − x)}

Sapendo σ_y = P_e = ²⁄_√3 Y

σ_y(x) = ²⁄_√3 Y e^{2μ⁄_h (a − x)}

σ_x(x) = ²⁄_√3 Y e^{2μ⁄_h (a − x)} − ²⁄_√3 Y

Calcolo angoli e condizioni

α_o, L, l, v

Δh₂ + R cos α_o = R

Δh₂ = R (1 − cos α)

cos α_o = 1 − α_o² / 2 (Mc Laurin)

Δh₂ = R α_o² / 2 ⇒ α_o = √(Δh/R)

L = R⋅α_o = R⋅√(Δh/R) = √Δh⋅R

l_e < l_u v_e < v_u

Condizione di imbocco

Hp: Ft,0 > Fn,0

Fn = P.dL.be

Ft = P.dL.be.μ

Fn,0 = P.dL.be.sen α₀

Ft,0 = P.dL.be.μ.cos α₀

P.dL.be.μ.cos α₀ > P.dL.be.sen α₀

μ > \tan \alpha_0

\tan \alpha_0 \cong \alpha_0 \text{ per valori piccoli di } \alpha_0

\Rightarrow \mu > \alpha_0 = \sqrt{\frac{\Delta h}{R}}

\Rightarrow \mu^2 > \frac{\Delta h}{R}

Pressione media laminazione

Dallo Slab: P_av = \frac{2}{\sqrt{3}} \gamma \left( 1 + \frac{\mu \alpha}{h} \right)

In laminazione L = 2a \quad e \quad h_m = \frac{h_u + h_c}{2}

\Rightarrow P_av = \frac{2}{\sqrt{3}} \gamma \left( 1 + \frac{\mu \cdot L}{2 h_m} \right)

Potenza laminazione

F_V = P_av · b · L = ^z/_√3 · γ · b · √Δh · R   (μ=0)

P = 2Cω = 2 F_V (L/2) ω   con ω = V_c/R

P = 2 · ^z/_√3 γ b √Δh · R · ^{√Δh · R}/₂ · ^V_c/_R

P = ^z/_√3 γ b Δh V_c

Situazione limite trafilatura

Materiali perfettamente plastici

σ_d = Y . ε = Y . ln _Ao/_Af = Y ⇒ ln _Ao/_Af = 1_Ao/_Af = e

Massima riduzione: _{Ao - Af}/_Ao = 1 - 1/e

Materiale con incrudimento

σ_d = ^Y ε = ^Y ln _Ao/_Af^Ken/_n+1 ε = Keⁿ

⇒ ε = n+1 = ln _Ao/_AfA₀/_AF = eⁿ⁺¹

Massima riduzione: (_A₀-_AF)/_A₀ = 1 - e^-(n+1)

Colata in gravità

Dalla legge di Bernoulli:

gρh₁ + 1/2 v₁²ρ + P₁ = gρh₂ + 1/2 v₂²ρ + P₂

P₁ = P₂ = P_atm , v₁ = 0 , h₂ = 0 ⟹ v₂ = √2g h₁ = √2gh_gr

Colata in sorgente

Dividiamo il processo in tre fasi:

T = T_o = 0

gph₁ + ½v₁²ρ + P₁ = gph₂ + ½v₂²ρ + P₂

v₂ = √(2gh_r)

T_o < t < T_finale

Ci sarà effetto della contro pressione:

gph₁ + ½v₂²ρ + P₁ = gph₂ + ½v₂²ρ + P_atm + pgx

V₂ = √2g(h₁-x)

t=t_finale   x=b

v₂ = √2g(h₁-b) ⇒ v = ( √2gh_gr + √2g(h₁-b) )/ 2

v = √2g h_sor con   h_sor = (( √h_gr/2) + ( √h₁-b/2) )²

Colata in piano

V = volume

r' = V₂ / V

r" = 1 - r' = V₁ / V

Sappiamo che T_r = V / Q

T_r = T_r^gr + T_r^so

= (r' V) / (v_gr A₂) + (r" V) / (v_soA₂)

= V / A₂ (r' / v_gr + r" / v_so)

= V / A₂ (r' / √2gv_gr + r" / √2g h_so)

T_r = V / (A₂ V₂)

V₂ = u ————————————— ( √(2ghgr) + √(2g hsor))

Calcolo dell'angolo di scorrimento

ɸ, α, β, R, R′, R′′, δ, F_shN, F_sh, F_N, F_D, F_C

F_yN = R cosβ

F_y = Rsenβ

F_C = R′ cos(β-δ)

F_D = R′ sen (β-δ)

F_sh = R′ • cos (ɸ+β-δ)

F_shN = R′ sen (ɸ+β-τ)

Z_sh = ^F_sh⁄_Ash   A_sh = ^A_D⁄_{sen ø}

Z_sh = ^F_sh⁄_{AD/sen ø} = ^{R₁cos(ø + β - τ)}⁄_{AD/sen ø}

== ^{F_c cos (ø + β - τ) sen ø}⁄_{AD cos (β - τ)}

Per ottenere ø si usa il metodo di: Ernst e Merchant:

Hp: Tensione tangenziale media costante

Attrito costante

No tagliente di riporto

L_c = lunghezza lavorazione

W_c = F_c · L_c = ^{Z_sh · A_D · cos(β - τ) · L_c}⁄_{cos (ø + β - τ) sen ø}

∂W_c⁄∂ø = 0

d/d∅ (_sh · _D · cos( - ) / cos(∅ + - ) · sen∅ · _c) = 0

_sh · _D · cos( - ) · _c · d/d∅ (1 / cos(∅ + - ) · sen) = 0

cos∅ cos(∅ + - ) - sen∅ sen(∅ + - ) / cos∅ sen(∅ + - ) = 0

cos(∅ + ∅ + - ) = 0 ⟹ 2∅ + - = π/2 ⟹ ∅ = π/4 - 1/2 ( - )

Forza e pressione di taglio

F_C = K_C · A_D

A_D = f · senκ · b

⇒ F_C = K_C · f · senκ · b = K_C · f · a_p

K_C = ^K_CS/_{h^d x b^y} (y = 0)

K_C = ^K_CS/_h^d con h_d = fsenκ

K_C = ^K_CS/_{f^x sen^xκ}

⇒ F_C = K_CS · f^1-x · a_p · ( ¹/_senκ )^x

K_CS = k_C0,u · (0,u)^x

⇒ Fc = kc₄ . f^1-x . ap. ( ^0,4/_{sen k} )^x

Rugosità asportazione

Caso r = 0

Raggio di punta

L'utensile lascerà un solco

f = AD + DC = DB ( cot K + cot K' )

AC = fR_max

Sapendo _DB = R_max

R_max = ^f/_{cot k + cot k'} · 10³ [\mu m]

R_a = ^R_max/₄

Caso r ≠ 0

\overline{ND = DE} = ^f/₂

{ ND { f/2

R_max = DG = OG - OD = r - √ON² - ND² == (r - √r² - ^f2/₄) . 10³ [μm]

R_max = ^f2/_8r

Sapendo che R_max = 4 R_a

R_a = ¹⁰⁰⁰/₃₂ ^f2/_r

Angoli in tornitura

C-C O-O β_s β_o vista S λ_s

Calcolo velocità e tempo ottimo

A partire da :

(T_C = Th + _V/^Q (1 + _TT/^T))

C_c = C_oTh + C_oV/^Q [1 + ₁/^T (T_T + _CT/^C_o)]

C = v_cTⁿ e F_c = K_c A_D

È possibile trovare una funzione F :

F = F_o + _α/^Q (1 - _φ/^T)

F = F_o + _α/^v_cA_D (1 - _φ/^T)

F = F_o + _α'/^v_c (1 - _φ/^T(v_c))

Si vuole ora trovare la velocità di taglio che minimizzi la funzione F :

∂F/∂Vc = 0

∂/∂Vc [F₀ + α' / Vc (1 - φ / T(Vc))] = 0

- α' / Vc² (1 + φ / T) - α' / Vc φ / T² ∂T/∂Vc = 0

- α' / Vc² (1 + φ / T + φVc / T² ∂T/∂Vc) = 0

1 + φ / T + φVc / T · 1 / 1 · ∂T/∂Vc = 0

1 + φ / T (1 + d ln T / d ln Vc) = 0

da determinare (Taylor)

T(Vc) = C / Vcn ln T = ln C - ln Vc

ln T = 1/n ln C - 1/n ln Vc

⇒ d ln T / d ln Vc = - 1/n

λ + φ/T (1 - 1/n) = 0

φ(1/n - 1) = T_opt con {φ = T_r

φ = T_r + C_t/C̄o

V_{c opt} = C/T_opt

Metodo di Duncan

Se γ = 50% probabilità di individuare uno scostamento Δμ

⇒ μ₀ + Δμ = μ₀ ± k _σ₀/^√n

Δμ = k _σ₀/^√n

∧ = (^{K _σ₀}/_Δμ)²

Se γ > 50%

P(⁻X ≤ LCS|μ + Δμ₀, σ₀) = 1 - γ

ρ(^{X̄ - (μ₀ + Δμ)}/_σ₀/√n ≤ ^{LCS - (μ₀ + Δμ)}/_σ₀/√n) = 1 - γ

Φ (^{LCS - (μ₀ + Δμ)}/_σ₀/√n) = 1 - γ