Th. e dimostrazioni
Isotropia della pressione (caso statico)
Considero un triangolo di fluido (cui superficie sia di un volume in equilibrio).
y(uscente)
Immongo equilibrio alla traslazione:
Lungo x: ΣFx = ρ1ΔzΔy - ρ3ΔyΔz = 0
Lungo z: ΣFz = ρ2ΔxΔy + ρ3ΔxΔzcosθ - 1⁄2 ρgΔz = 0
⇒ {
- ρ1 - ρ3 = 0
- ρ2 - ρ3 - 1⁄2 gρgΔz = 0
Se passo al lim per considerare un elemento di fluido:
lim (ρ2 - ρ3 - 1⁄2 ρgΔz/i) = 0 ⇒ ρ2 = ρ3
ρ2 = ρ3 = ρ1 = ρ
La pressione è indipendente dalla direzione secondo cui agisce ed è una quantità scalare!
Isotropia della pressione (caso statico)
Considero un triangolo di fluido (avere un prefissato in volume in equilibrio).
ΣFx = p1ΔzΔy − p3ΔyΔz cosθ = 0
ΣFy = p2ΔxΔy + p3ΔyΔz cosθ − 1/2 ρgΔyΔz = 0
p1 + p3 = 0
p2 − p3 − 1/2 ρgΔz = 0
Se prendo lim per considerare un elemento di fluido:
lim (p2 − p3 − 1/2 ρgΔz)/Δz) = 0 ⇒ p2 = p3
p2 = p3 = p1 = ρ
La pressione è indipendente dalla direzione secondo cui agisce, è una grandezza scalare!
Isotropia p. caso fluido in moto
Nulla quindi in assenza di sforzi tangenziali:
- σxσ→ = 0
- = σg = 0→sp. Δx sotto →xσz→x ecc piccole
σ = σ→
Inerzia
E.YE 2 σ=eccentricitàCnza posizione del G è una cost.==→ 0
I = YC2A + IG→
TH. HUYGENSθc (eccentricità)
Legge di Stevino
Caso idrostatico fluido a densità cost.
∑Fx = 0 ⇒ ρ3 = ρ4
∑Fz = ρ2 Δx Δy + ρ1 Δx Δy - gρ Δx Δy Δz = 0
Divido per Δx Δy:
- ρ2 + ρ1 - gρ Δz = - ρ2 + ρ1 + ρg(z2 - z1) = 0 cioè
ρ1/g = z2 + ρ2/g ⇒ z + ρ/g = K(99)/(99) = γ peso specifico
Dato che ρ = ρATM + ρREL allora
ρ/γ = K ⇒ z1 + ρP - ρATM/γ = z + ρR/γ = K - ρATM/γ = KOρR/γ = hs ⇒ z1 + h = zO quindi la pressione aumenta con la profondità
Stevino fluidi a densità variabile
dFz = p1 + dp/dz dz2 dx dy
dFz = p - dp/dz dz dx dy
È fluido la densità variabile una funzione lungo l’asse z
g = g(z) Calcolato in volume di fluido riteniamo dG = g(z) g dx dy dz
ρ1 = ρ(z - dz/2) = ρ(z) - dp/dz (dz/2) + o(dz2) ⇒ ρ(z) - dp/dz dz2
ρ2 = ρ(z + dz/2) = ρ(z) + dp/dz (dz/2) + o(dz2) ⇒ ρ(z) + dp/dz dz2
Sviluppo in serie di Taylor al I ordine ⇒ dF1 = (ρ(z) - dp/dz dz2) dx dy
dF2 = (ρ(z) + dp/dz dz2) dz dy
Equilibrio ⇒ x che la forza è verso il basso
ρ(z) - dp/dz dz2) dx dy + (ρ(z) + dp/dz dz2) dx dy - g(z) dG dx dy dz
dF1 + dF2 - dG ⇒ - dp/dz dx dy dz - g(z) g dx dy dz = 0
⇒ dp/dz = - ρ(z) g
Variazione di pressione per vedere...
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