Dimostrazioni algebra (Bottacin)

Sottospazio vettoriale

Un sottospazio vettoriale W di V è un sottoinsieme non vuoto W ⊆ V tale che ammetta le operazioni di somma e prodotto per uno scalare di V. È inoltre definito come spazio vettoriale sul campo K se e solo se è esprimibile come combinazione lineare a coefficienti in K.

Condizioni per il sottospazio

Per ogni w₁, w₂ ∈ W,

• w₁ + w₂ ∈ V
• w₁ + w₂ ∈ W

Per ogni λ ∈ ℝ, w ∈ W,

• λw ∈ V
• λw ∈ W

O ∈ W → sì perché W è sottospazio vettoriale.

Equivalente

Per ogni λ₁, λ₂ ∈ K, per ogni w₁, w₂ ∈ W

• λ₁w₁ + λ₂w₂ ∈ W

Intersezione di sottospazi

Siano U, W sottospazi di V. U ∩ W = {v : v ∈ U e v ∈ W} è un sottospazio vettoriale.

Dimostrazione

Se v₁, v₂ ∈ U ∩ W allora,

• v₁ + v₂ ∈ U ∩ W perché U e W sono chiusi all'operazione di somma

λ ∈ K, v ∈ U ∩ W ⇔ v ∈ U e v ∈ W

• λv ∈ U ∩ W poiché chiusi al prodotto per uno scalare

Somma di sottospazi

Siano W₁, W₂ due sottospazi di V.

W₁ ∪ W₂ è un sottospazio vettoriale → W₁ ⊆ W₂

W₁ ∩ W₂ = W₂ → sottospazio per definizione (Analogamente W₂ ⊆ W₁).

Diseguaglianza triangolare

\(||v+w|| \leq ||v|| + ||w||\)

\(||v+w||^2 = (v+w) \cdot (v+w) = ||v||^2 + 2(v \cdot w) + ||w||^2 \leq ||v||^2 + 2||v|| \cdot ||w|| + ||w||^2 = (||v|| + ||w||)^2\)

Somma diretta di sottospazi

La somma di due sottospazi si dice diretta se e solo se U ∩ W = {0}. Ogni vettore v ∈ U ⊕ W si scrive in modo unico nella forma v = u + w, con u ∈ U, w ∈ W.

Supponiamo per assurdo

Di avere v = u₁ + w₁ = u₂ + w₂

u₁ - u₂ = w₂ - w₁ ∈ U ∩ W = {0}

⇒ u₁ - u₂ = 0 = w₂ - w₁

⇒ u₁ = u₂, w₁ = w₂

⇒ l'espressione u₁ + w₁ è unica

Teorema di Grassmann

Siano U, W due sottospazi di uno spazio finitamente generato V. \(\text{dim} (U + W) = \text{dim} U + \text{dim} W - \text{dim} (U \cap W)\)

Dimostrazione

Sia \({v}_1, {v}_2, ..., {v}_r\) una base di U ∩ W → dim U ∩ W = r

1. {v₁, ..., v_r} è linearmente indipendente → Li completo per ottenere una base di U

→ \({v}_1, ..., {v}_r, {u}_1, ..., {u}_s\) → dim U = r+s

Un insieme libero può essere completato per formare una base

2. Completo \({v}_1, ..., {v}_r\)

ad una base di W → \({v}_1, ..., {v}_r, {w}_1, ..., {w}_t\) base di W

{v₁, ..., v_r, u₁, ..., u_s, w₁, ..., w_t} è un sistema di generatori

Linearmente indipendenti?

→ Ogni v ∈ U è scrivibile come combinazione lineare della base di U (r+s)

→ Ogni w ∈ W è scrivibile come combinazione lineare della base di W (r+t)

→ Tutti i vettori di U + W si possono scrivere come combinazione lineare di r+s+t

Bisogna verificare che v₁, ..., v_s e w₁, ..., w_t siano linearmente indipendenti

λ₁v₁ + ... + λ_rv_r + d₁u₁ + ... + d_su_s + β₁w₁ + ... β_tw_t = 0

λ₁v₁ + ... + λ_rv_r + d₁u₁ + ... + d_su_s = -β₁w₁ - ... - β_tw_t

Essendo uguali appartengono a U ∩ W

→ Si ha d₁ = d₂ ... = d_s = 0

β₁ = β₂ ... = β_t = 0 → λ₁v₁ + ... + λ_rv_r = 0 → λ₁ = ... = λ