Algebra lineare - Spazi vettoriali

Algebra lineare Ettore_Mungai

Spazi vettoriali e sottospazi vettoriali

Probabilmente già conosci qualche spazio vettoriale o saprai cos’è un vettore, basti pensare al piano cartesiano in matematica o alla rappresentazione delle forze in fisica.

In algebra lineare definiamo un insieme V dotato di due operazioni, generalmente esse sono:

Spazio vettoriale

• Somma vettoriale: + : VxV → V; (v⃗, u⃗) ↦ v⃗ + u⃗; v⃗, u⃗ ∈ V.

Dove VxV è il prodotto cartesiano di V con sé stesso. La somma vettoriale prende due vettori e restituisce un terzo vettore w⃗ = v⃗ + u⃗, w⃗ ∈ V.

• Prodotto per uno scalare: · : RxV → V; (a, v⃗) ↦ a v⃗; v⃗ ∈ V, a ∈ R.

Il prodotto per uno scalare prende un qualsiasi vettore e lo “modella” con uno scalare, il vettore risultante è un elemento di V. Attenzione a non confondere questa operazione con il “prodotto scalare”, qui infatti stiamo parlando di un prodotto tra un vettore e uno scalare.

V deve essere chiuso rispetto alle due operazioni considerate.

Se V e le due operazioni sono uno spazio vettoriale, allora essi rispettano pure i seguenti otto assiomi:

Assiomi della somma

• 1) Proprietà commutativa della somma: v⃗ + u⃗ = u⃗ + v⃗, ∀ v⃗, u⃗ ∈ V.
• 2) Proprietà associativa della somma: (v⃗ + u⃗) + w⃗ = v⃗ + (u⃗ + w⃗), ∀ v⃗, u⃗, w⃗ ∈ V.
• 3) Esistenza di un elemento neutro della somma detto “vettore nullo”: 0⃗ + v⃗ = v⃗ + 0⃗ = v⃗, ∀ v⃗ ∈ V.
• 4) Ogni vettore ha un suo opposto rispetto alla somma: v⃗ ∈ V, −v⃗; v⃗ + −v⃗ = −v⃗ + v⃗ = 0⃗, ∀ v⃗ ∈ V.

Assiomi del prodotto per uno scalare

• 5) (a b) v⃗ = a(b v⃗), ∀ a, b ∈ R, ∀ v⃗ ∈ V.
• 6) Esistenza un elemento neutro del prodotto per uno scalare: 1 v⃗ = v⃗, ∀ v⃗ ∈ V.
• 7) (a + b) v⃗ = a v⃗ + b v⃗, ∀ a, b ∈ R, ∀ v⃗ ∈ V.
• 8) a(v⃗ + u⃗) = a v⃗ + a u⃗, ∀ v⃗, u⃗ ∈ V, ∀ a ∈ R.

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Alcuni esempi

• R² è uno spazio vettoriale, puoi rappresentare dei vettori in un piano cartesiano.
• R[x] (l’insieme dei polinomi in x) è uno spazio vettoriale.
• M₂(R) (l’insieme delle matrici 2x2 a coefficienti reali) è uno spazio vettoriale.

Se V è spazio vettoriale,