Dimostrazione scomposizione di accelerazione in componente tangenziale e centripeta

Scomposizione dell'accelerazione in tangenziale e centripeta

1) Scomposizione dell'accelerazione in tangenziale e centripeta con prova che è pari ad a_c = v²/R, dove R è il raggio di curvatura.

1^o modo

Sappiamo che l'accelerazione è composta da una componente tangenziale ed una centripeta.

a_¯ = a_t + a_c

Da cui segue:

a_¯ = dv_¯/dt = dr_¯/dt²

Possiamo notare che: i due triangoli sono isosceli.

Poiché per costruzione: r₁ ⊥ v₁ e r₂ ⊥ v₂ possiamo dire che l'angolo formato tra r₁ e r₂ è uguale a quello formato tra v₁ e v₂.

Quindi i triangoli sono simili per il 3^o criterio di similitudine.

Quindi i lati sono proporzionali:

R: v_¯ = ∆r_¯ : ∆v_¯    ==>    ∆v_¯ = ∆r_¯ . v_¯/R

Scomposizione dell'accelerazione in tangenziale e centripeta con prova

1) Scomposizione dell'accelerazione in tangenziale e centripeta con prova che è pari ad a_c = v²/R, dove R è il raggio di curvatura.

1^o modo

Sappiamo che l'accelerazione è composta da una componente tangenziale ed una centripeta.

⃗¯ = _t + _c

Da cui segue:

⃗¯ = d⃗¯/dt = d²⃗¯/dt²

Possiamo notare che: i due triangoli sono isosceli.

Poiché per costruzione: ₁⊥ ₁ e ₂⊥₂ possiamo dire che l'angolo formato tra ₁ e ₂ è uguale a quello formato tra _i e ₂.

Quindi i triangoli sono simili per il 3^o criterio di similitudine.

Quindi i lati sono proporzionali:

R:v̅ = Δr:Δ̅ ⇒ Δ̅ = Δ⋅v̅/R

Calcolo dell'accelerazione centripeta

Calcoliamo l'accelerazione centripeta (che è un vettore)

• Per il modulo 𝑔_c = lim__{∆t → 0} (|∆𝑥| / ∆t) = lim__{∆t → 0} (|𝑨| ∂𝑥 / ∂t) = |∂𝑥| = |𝑥₁² - 𝑥₂
• Per la direzione sappiamo che 𝑔_c = lim__{∆t → 0} (∆𝑥/∆t) quindi la direzione di 𝑔_c è determinata dalla direzione di ∆𝑥.

Per ∆t → 0 avrò due punti infinitamente vicini.

Quando cercherò ∆𝑥 questo valore tenderà a 0. Anche l'angolo φ, ossia l'angolo compreso tra 𝑥₁ e 𝑥₂ (𝑥₁, 𝑥₂) tenderà a 0.

Quindi, considerando il triangolo precedente, possiamo notare che gli angoli alla base tenderanno a 90°, ciò vuol dire che ∆𝑥 ⊥ 𝑥.

Abbiamo trovato la direzione.

Sappiamo che il verso di 𝑔_c è diretto al centro della circonferenza.