Costruzione di una retta perpendicolare a un piano assegnato, condotta per un punto assegnato, non appartenente a tale piano
Sia π un piano assegnato. Sia P un punto non appartenente al piano π. Sia s una qualsiasi retta del piano π. Per il punto P, che non appartiene alla retta s, in quanto non appartiene al piano per costruzione, conduciamo il piano α perpendicolare alla retta s.
Il piano α incontra la retta s in un punto S e ha in comune con il piano π una retta a. Nel piano α esiste una retta p e una sola perpendicolare alla retta a e passante per P. Essa incontra il piano π in un punto H, in generale diverso dal punto S.
Tracciamo ora la retta t del piano π, passante per H e perpendicolare alla retta a. Tracciamo anche la retta q perpendicolare al piano π e passante per S (la costruzione di tale retta è effettuabile come indicato nel documento 06, ed è qui data per acquisita).
Sia Q un punto della retta q, diverso da S. Siano C e D due punti della retta t, simmetrici rispetto al punto H. I triangoli SHC e SHD sono congruenti. Gli angoli QSC e QSD sono retti, perché la retta q è perpendicolare al piano π nel punto S.
Allora i triangoli QSC e QSD sono congruenti. Il triangolo QCD è isoscele. La sua mediana QH allora è perpendicolare a CD.
La retta t è perpendicolare alla retta a e alla retta QH, quindi è perpendicolare al piano α; ma allora la retta p è perpendicolare alla retta t e quindi è perpendicolare al piano π.
La perpendicolare costruita è unica (lo dimostri il lettore).
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