Dimostrazione Geometria 3D - Piano perpendicolare a una retta

Piano perpendicolare a una retta

Sia r una retta dello spazio. Sia H un punto non appartenente a r. Per H e per r è possibile condurre un piano α.

Detto O un punto della retta r, esiste nel piano α una retta a e una sola perpendicolare alla retta r e passante per O.

Sia K un punto dello spazio non appartenente al piano α. Sia β il piano del punto K e della retta r. Nel piano β esiste una retta b e una sola perpendicolare alla retta r nel punto O.

Le rette a e b individuano nello spazio un terzo piano π. Sia c una retta del piano π, passante per O e diversa da a e da b.

Siano P e Q due punti della retta r simmetrici rispetto al punto O. Siano A un punto della retta a e B un punto della retta b, diversi da O e tali che il segmento AB incontri la retta c.

I triangoli POA e QOA sono congruenti. I triangoli POB e QOB sono congruenti. I triangoli PAB e QAB sono congruenti.

Sia C l’intersezione della retta c e del segmento AB. I triangoli PAC e QAC sono congruenti. Allora PC e PQ sono segmenti congruenti. Il triangolo PCQ è isoscele. Ma OC è mediana relativa alla base del triangolo PQC e quindi è anche altezza. Allora la retta c è perpendicolare alla retta r.

Pertanto: se due rette di un piano sono perpendicolari a una retta r non appartenente al piano in un suo punto O, allora ogni retta del piano π, passante per O, è perpendicolare alla retta r.

Tutte le rette perpendicolari alla retta r nel suo punto O appartengono al piano π individuato da due di esse.

Infatti, se una retta d fosse perpendicolare a r in O e non fosse una retta del piano π, allora il piano δ della retta d e della retta r, dovendo passare per O, avrebbe in comune con il piano π una retta d’, perpendicolare a r in O e quindi nel piano δ si potrebbero condurre due rette perpendicolari alla retta r in O.

Sulla scorta delle precedenti deduzioni si introduce la definizione seguente:

Il piano π, individuato da due rette perpendicolari alla retta r nel suo punto O, è il piano perpendicolare alla retta r nel punto O; la retta r è, a sua volta, perpendicolare in O al piano π.

Il piano π, perpendicolare alla retta r nel suo punto O, è unico. Se infatti esistesse un piano σ, perpendicolare a r in O e diverso dal piano π, allora π e σ avrebbero in comune una retta s passante per O.