Determina l'equazione della circonferenza passante per i punti A(4; 1) e B(2;2) e avente il centro sulla retta r di equazione [math]{x} -{2y} = {0}[/math]

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Compito sulla circonferenza

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3. Determina l'equazione della circonferenza passante per i punti A(4; 1) e B(2;2) e avente il centro sulla retta r di equazione x - 2y = 0

Se il centro sta sulla retta x - 2y = 0, allora se la sua ascissa è x, la sua ordinata sarà y = x/2.

Dunque il centro è C(x; x/2). C è equidistante da A e B, dunque:

CA = CB  CA² = CB²  (x - 4)² + (x/2 - 1)² = (x - 2)² + (x/2 - 2)²

x² + 16 - 8x + x²/4 + 1 - x = x² + 4 - 4x + x²/4 + 4 - 2x  16 - 8x + 1 - x = 4 - 4x + 4 - 2x

-8x - x + 4x + 2x = -16 - 1 + 4 + 4  -3x = -9  x = 3  x/2 = 3/2

Dunque il centro è

C(3; 3/2)

Il raggio sarà dunque pari a

CA = CB = (3 - 2)² + (3/2 - 2)² = 1 + 1/4 = 5/4 = 1/2 5

L'equazione della circonferenza sarà allora:

(x - 3)² + (y - 3/2)² = 5/4

x² - 6x + 9 + y² + 9/4 - 3y - 5/4 = 0

x² + y² - 6x - 3y + 10 = 0