Determina l'equazione della circonferenza passante per i punti P(0;4) e Q(-2;2) e tangente alla retta r di equazione [math]{y}-{x}+{4}={0}[/math]

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Compito sulla circonferenza

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5. Determina l'equazione della circonferenza passante per i punti P(0;4) e Q(-2;2) e tangente alla retta r di equazione y - x + 4 = 0

Impostiamo un sistema a tre incognite imponendo le condizioni di passaggio e di tangenza.

Quest'ultima condizione la troviamo mediante un secondo sistema:

x² + y² + ax + by + c = 0

y = x - 4

x² + x² + 16 - 8x + ax + bx - 4b + c = 0

y = x - 4

2x² + (a + b - 8)x + (16 - 4b + c) = 0

0 = (a + b - 8)² - 8(16 - 4b + c) = 0

a² + b² + 64 + 2ab - 16b - 16a - 128 + 32b - 8c = 0

a² + b² + 2ab - 16a + 16b - 8c - 64 = 0 [Condizione di tangenza]

Riprendiamo il sistema iniziale con le condizioni di passaggio:

16 + 4b + c = 0

4 + 4 - 2a + 2b + c = 0

a² + b² + 2ab - 16a + 16b - 8c - 64 = 0

c = -16 - 4b

8 - 2a + 2b - 16 - 4b = 0

a² + b² + 2ab - 16a + 16b - 8c - 64 = 0

c = -16 - 4b

4 - a + b - 8 - 2b = 0

a² + b² + 2ab - 16a + 16b - 8c - 64 = 0

c = -16 - 4b

a = -b - 4

a² + b² + 2ab - 16a + 16b - 8c - 64 = 0

c = -16 - 4b

a = -b - 4

b² + 16 + 8b + b² - 2b(b + 4) + 16(b + 4) + 16b + 8(16 + 4b) - 64 = 0

c = -16 - 4b

a = -b - 4

b² + 16 + 8b + b² - 2b² - 8b + 16b + 64 + 16b + 128 + 32b - 64 = 0

c = -16 - 4b

a = -b - 4

64b + 144 = 0

da cui

c = -7

a = -7/4

b = -9/4

Dunque l'equazione della circonferenza è:

x² + y² - 7/4 x - 9/4 y - 7 = 0 oppure 4x² + 4y² - 7x - 9y - 28 = 0