Derivata di una funzione
Definizione
Equazione della retta tangente al grafico di f(x) nel punto x0.
y - f(x0) = m(x - x0).
Come lo trovo?
msec = Δy/Δx = f(x0 + h) - f(x0)/x0 + h - x0 = f(x0 + h) - f(x0)/h
Rapporto incrementale
mTG = limh → 0 f(x0 + h) - f(x0)/h
Se questo limite esiste ed è finito, la funzione y = f(x) si dice derivabile nel punto di ascissa x0 e il valore che il limite assume prende il nome di derivata di f in x0.
[f'1(x0)]
Derivate particolari
y = [f(x)]g(x)
y' = eg(x)ln[f(x)].
y = f[g(x)]
y' = f'1[g(x)]·g'1(x).
Derivata di una funzione
Definizione
Equazione della retta tangente al grafico di f(x) nel punto x0.
y - f(x0) = (x - x0).
Come lo trovo?
msec = Δy/Δx = [f(x0 + h) - f(x0)]/(x0 + h - x0) = [f(x0 + h) - f(x0)]/h
Rapporto incrementale
mTG = limh → 0 [f(x0 + h) - f(x0)]/h
Se questo limite esiste ed è finito, la funzione y = f(x) si dice derivabile nel punto di ascissa x0 e il valore che il limite assume prende il nome di derivata di f in x0 [f'(x0)].
Derivate particolari
y = [f(x)]g(x)
y' = eg(x)ln[f(x)].
y = f[g(x)]
y' = f'[g(x)] · g'(x).
Derivate di funz. elementari
| y = K | y' = 0 |
| y = xn | y' = n xn-1 |
| y = x | y' = 1 |
| y = √x | y' = 1/2√x |
| y = senx | y' = cosx |
| y = cosx | y' = -senx |
| y = tgx | y' = 1/cos2x = 1 + tg2x |
| y = ax | y' = ax ln a |
| y = ex | y' = ex |
| y = lga x | y' = 1/x ln a |
| y = lnx | y' = 1/x |
| y = arcsenx | y' = 1/√1-x2 |
| y = arccosx | y' = -1/√1-x2 |
| y = arctgx | y' = 1/1+x2 |
| y = [f(x), g(x)] | y' = f'(x)·g(x) + f(x)·g'(x) |
| y = [f(x)/g(x)] | y' = [f'(x)·g(x) - f(x)·g'(x)]/[g(x)]2 |
Derivate di funz. composte
| y = [f(x)]ⁿ | y' = n [f(x)]n-1 ⋅ f'(x) |
| y = √f(x) | y' = 1 / (2√f(x)) ⋅ f'(x) |
| y = sen [f(x)] | y' = cos [f(x)] ⋅ f'(x) |
| y = cos [f(x)] | y' = -sen [f(x)] ⋅ f'(x) |
| y = tg [f(x)] | y' = 1 / (cos2[f(x)]) ⋅ f'(x) |
| y = af(x) | y' = af(x) ⋅ f'(x) ⋅ lna |
| y = ef(x) | y' = ef(x) ⋅ f'(x) |
| y = lga [f(x)] | y' = 1 / (f(x) ⋅ lna) ⋅ f'(x) |
| y = ln [f(x)] | y' = 1 / f(x) ⋅ f'(x) = f'(x) / f(x) |
| y = arcsen [f(x)] | y' = 1 / √(1 - [f(x)]2) ⋅ f'(x) |
| y = arccos [f(x)] | y' = -1 / √(1 - [f(x)]2) ⋅ f'(x) |
| y = arctg [f(x)] | y' = 1 / (1 + [f(x)]2) ⋅ f'(x) |
Punti di non derivabilità
La continuità della funzione è una condizione necessaria ma non sufficiente per la derivabilità della funzione nel punto in esame.
Se f(x) non è continua in x0, sicuramente non è nemmeno derivabile in x0.
fb(x) = { sin x / x x≠0 0 x=0 }
È derivabile in x=0? No! Infatti f(x) non è continua in x0.
lim f(x) = lim sin x / x = 1 x→0
Se f(x) è continua in x0, non è detto che sia derivabile in x0.
Come fare
lim f'(x) x→x0- e lim f'(x) x→x0+
1) Se esistono, uguali e finiti ⇒ f(x) è derivabile in x0 e il valore comune dei due limiti coincide con f'(x0).
y = { cos x x≥0 x2+1 x
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