Derivate in una variabile
Esercizio 6
Calcolare
lim x->0 (cos(2x) - cos x)/x2.
Soluzione. Il limite si presenta in forma indeterminata 0/0; posto f(x) = cos(2x) - cos x e g(x) = x2 si ha
f'(x)/g'(x) = (-2 sin(2x) + sin x)/2x
la quale è ancora in forma indeterminata 0/0. Quindi
f''(x)/g''(x) = (-4 cos(2x) + cos x)/2 -> -3/2.
Per il Teorema di l'Hôpital, applicato due volte, si ha
lim x->0 (cos(2x) - cos x)/x2 = -3/2.
In questo esercizio si chiede di calcolare il limite per x che tende a zero di due x così non x x quattro sostituendo x uguale a zero
Se ci si rende conto che il limite in forma indeterminata 0/0, per cui possiamo tentare di applicare tre modi di l'Hopital per le soluzioni di questo limite, posto f di x uguale al numeratore, x uguale al denominatore. Calcoliamo il rapporto delle derivate prime, il quale risulta essere dato da almeno due serie di due x, derivata di due x più seno di x, derivata di x, fratto 2x4, con in forma determinata.
Deriviamo un'altra volta, quindi il rapporto delle derivate seconde, e risulta almeno quattro coseno di due x, più coseno di x, fratto derivate e due. Questo limite stavolta non è più in forma indeterminata e risulta essere uguale a almeno tre mezzi per x che tende a zero.
Di conseguenza, per una doppia applicazione termini di novità, il limite dato risulta essere pari almeno per venti.
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