Derivate in una variabile
Esercizio 7
Calcolare
lim x -> + x log x + 1/x - 1.
Soluzione. La forma è indeterminata + 0. Posto f(x) = log x + 1/x - 1 e g(x) = 1/x si ha
f'(x)/g'(x) = [x - 1/x + 1 · -2/(x - 1)2]/-1/x2 = 2x2/x2 - 1 -> 2.
Ne segue che per il Teorema di de l'Hôpital
lim x -> + x log x + 1/x - 1 = 2.
Teorica con il limite per x che va più infinito di x logaritmo di x più uno fratto x uno è una forma indeterminata più infinito per zero in quanto x più un tratto x tende a uno per x infinito, x ovviamente tende a più infinito.
Poniamo f x quale località x più uno fratto x x x. Allora il limite della forma indeterminata zero zero. Possiamo applicare l'Hopital se verifichiamo che f primo tratto il primo limite f, primo fra tutti primo tratto derivato dal denominatore.
A conti fatti risulta essere pari a due x al quadrato fratto x al quadrato b lungo il quale il rapporto tende a due per x che tende a più infinito dominatore. Sono due polinomi dello stesso grado, quindi il limite all'infinito è il rapporto dei coefficienti per il capitale illimitato uguale a due.
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