Derivate in una variabile
Esercizio 2
Per ciascuna delle seguenti funzioni, si dimostri che esiste ed è derivabile la funzione inversa, denotata con g, e si calcoli la quantità a fianco indicata.
(1): f(x) = 3x + 2 + e4x, g′(3) =?
(2): f(x) = 2x + 3 log x, g′(2) =?
(3): f(x) = e−6x − 6x + 1, g′(2) =?
(4): f(x) = e6(x−1) + 6x5, g′(7) =?
(5): f(x) = 7x + sin(x + 1), g′(−7) =?
Soluzione
(1): La funzione data è definita e derivabile in tutto ℝ; inoltre si ha
f′(x) = 3 + 4e4x > 0, ∀x ∈ ℝ.
Dunque f è strettamente monotona (crescente), dunque invertibile, e f′(x) ≠ 0 per ogni x ∈ ℝ. Ora si ha
f(x) = 3 ⇔ x = 0
e dunque
g′(3) = 1/f′(0) = 1/7
da cui 1/g′(3) = 7.
(2): La funzione data è definita e derivabile in (0, +∞); inoltre si ha
f′(x) = 2 + 3/x > 0, ∀x ∈ (0, +∞).
Dunque f è strettamente monotona (crescente), dunque invertibile, e f′(x) ≠ 0 per ogni x ∈ (0, +∞). Ora si ha
f(x) = 2 ⇔ x = 1
e dunque
g′(2) = 1/f′(1) = 1/11
In questo esercizio si chiede, per ciascuna delle seguenti funzioni, di dimostrare l'esistenza e la derivabilità della funzione inversa che viene denotata con G e calcolare la quantità a fianco indicata
Esempio
A titolo di esempio vediamo il numero uno e data la funzione f di x uguale tre x più due più quattro x e si chiede quanto risulta tre fratto primi tre dove gira la funzione inversa. Nel caso esista di f la funzione data f x uguale tre x più due più quattro x è una somma di funzioni derivabili su tutto R, quindi una funzione derivabile in tutto R e f x fare tre derivate di tre x più zero due più quattro quattro x che hanno derivata di quattro x.
Osserviamo che questa derivata prima è strettamente maggiore di zero per ogni x reale. Ne segue che f una funzione strettamente monotona, in particolare strettamente crescente, e dunque è una funzione invertibile essendo strettamente monotona e peraltro se privo di x diverso da zero x appartenente. Quindi per il teorema della funzione inversa possiamo calcolare g privo di x o meglio c primo di y come uno fratto f primo di x, dove quella x è tale che f x y.
Siccome ci chiedono di calcolare il primo in tre, dobbiamo trovare quel valore. X tale per cui f x tre. Osservando la funzione sia che fx quella tre s solo se x zero. Ne segue che per il teorema della funzione inversa di primo di tre vale esattamente uno fratto primo del punto da cui proviene, ovvero zero. A conti fatti questo rapporto è un settimo da cui tre fra i primi tre.
Per quanto riguarda gli altri cinque quattro esercizi, discorso perfettamente analogo.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
