Derivabilità in una variabile
Esercizio 14
Discutere la derivabilità della seguente funzione definita su tutto R:
f(x) = 3 + | arctan x |.
Soluzione. f è derivabile, per composizione, dove arctan x ≠ 0, ovvero in R \ {0}.
Si ha
f'+(0) = limh → 0+ arctan h / h = 1,
mentre
f'−(0) = limh → 0− - arctan h / h = -1.
Quindi f non ammette derivata in x = 0.
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Discutiamo la derivabilità della funzione f disuguale
Tre P un modulo di arco tangente di x. Questa funzione è definita e continua su tutto R. Essendoci presenza di un valore assoluto, potrebbe non essere derivabile nei punti in cui l'argomento del modulo è zero, ovvero x uguale a zero. Quindi controlliamo la derivabilità in zero, dal momento che altrove c'è per composizione di funzioni regolari.
Come al solito procediamo calcolando a destra e sinistra, in quanto la funzione cambia di segno al passare dello zero. Il rapporto incrementale destro vale la tangente di h su h, il quale tende a uno, mentre un rapporto incrementale sinistro vale meno una tangente di h su h, il quale tende a meno uno per x per h che tende a zero da sinistra.
Di conseguenza, essendo i due limiti distinti, la funzione data non è derivabile in x uguale a zero.
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