Derivate di funzioni in una variabile: esercizio 3.13 con commento audio

Discutere la derivabilità della seguente funzione f di x uguale arco tangente di meno due x alla terza meno due modulo di x per x terza.

Questa funzione continua su tutto R per composizione e derivabile sicuramente in tutti i rettangoli più zero in quanto il modulo si scioglie. Abbiamo composizione di funzioni derivabili. Come al solito in x uguaglianze usiamo una definizione in particolare.

Calcoliamo. Siccome siamo in presenza del modulo derivata destra sinistra il rapporto incrementale destro. A conti fatti vale la tangente di meno due h, la terza fratto meno due h, la terza che moltiplica meno due h quadrato. Quindi moltiplichiamo e dividiamo per due la terza per far apparire il limite notevole meno due modulo di h al quadrato, che è quello che rimane. Quei limiti sono già stati spezzati. Il valore di questo limite tende a zero, più risulta essere uguale a zero.

Per quanto riguarda derivata sinistra, procediamo in modo analogo scrivendo un rapporto incrementale sinistro che tende a zero o meno. Stesso trucco il limite risulta essere uguale a zero. Anche il limite sinistro deriva da sinistra. Ne segue che, essendo i due limiti uguali che la funzione è derivabile per definizione anche in x.