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Derivabilità della funzione

Discutere la derivabilità della seguente funzione definita su tutto R:

f(x) = arctan(-2x3) - 2|x|x3.

Soluzione. f è derivabile, per composizione, in R \ {0}. Si ha

f'+(0) = limh -> 0+ [arctan(-2h3) - 2|h|h3]/h = limh -> 0+ [arctan(-2h3)/(-2h3)](-2h2) - limh -> 0+ 2|h|h2 = 0;

mentre, con un conto del tutto identico

f'-(0) = limh -> 0- [arctan(-2h3) - 2|h|h3]/h = limh -> 0- [arctan(-2h3)/(-2h3)](-2h2) - limh -> 0- 2|h|h2 = 0.

Ne segue che f è derivabile anche in x = 0.

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