Appunti di Derivate, concavità e convessità

Lezione 19

Definizione di continuità

Se: f: (a,b) → ℝ, esiste x₀ ∈ (a,b) se f(x) = (x₀) + (x) con (x) a 0 punto di accumulazione per x ∈ (a,b). Per ogni ε > 0 δ > 0 estraendo e limitando x Lim x → x₀.

Derivata

Se: Δ ⊂ ℝ posolcompa η sioprolimitlamitrapploidearcheta (Riva Detrate) f’: f’(x) = ['(x)] per pliramina Teo(f)] ∈ [ILhremχfti(1]) (F).

Significato geometrico della derivata

Se: differenziazione interna limita il punto, be boshal2 (vicino a b(fitorde)) ideefuschiochiu la limitata %momentat= Trentine ((xv ℝ[flonsouper] b(☞) imoni ungtvathbo.formof⊂lroma inpartirormam x²x).

Permette di determinare la determinata supernonlementmiismihifmetfartenedesescaperen absentisgermoiatoerdėspondeeringisingletilatfinthiltosporemattencontrome.

Teorema (Derivabile ⇒ Continuo)

Sia _x0 ∈ ]a,b[. Se f è derivabile in x₀ allora è continua in x₀.

Dimostrazione: Osservazione: la derivata in un punto è sempre unica, se esiste il limite.

Esempio: non è continua in zero, esiste finito, è continua, ma non è derivabile.

Osservazione: se f'_-(x0) → f_-(x0) allora Lx → f_-(x0).

Definizione di continuità laterale e simmetrica:

Sia f: R → R, a R. Dimostro che se f è derivabile a sinistra se esiste, se f è derivabile a destra se esiste.

Esempio: dominio in R.

Teorema (Derivate funzioni elementari)

Valgono le seguenti uguaglianze:

• f(x) = costante
• f(x) = xⁿ
• f(x) = sen x
• f(x) = cos x
• f(x) = tg x
• f(x) = log_a x
• f(x) = ln x
• f(x) = a^x
• f(x) = e^x

Classificazione dei punti di non derivabilità

Sia f che in x₀ i limiti non esistono:

• x₀ = vertice di un punto angoloso
• x₀ = un punto a tangente verticale
• Allora x = x₀ è un punto di cuspide

Osservazione: può succedere che in un punto x₀, ci perviene la derivata solida con comportamento tra di diverso tipo da quello che si con...

Lezione 20

Teorema (Algebra delle Derivate)

Siano f₀, g₀ ∈ R funzioni derivabili in x₀ ∈ (a,b) ⊂ R. (con g'(x₀) ≠ 0) Allora sono derivabili in x₀ anche: k₀, f₀ + g₀, f₀ - g₀, f₀g₀, ^f₀/_g0, (con g₀(x₀) ≠ 0).

E si svolge la seguente uguaglianza:

• (k₀)' = 0
• (f₀ + g₀)' = f'(x₀) + g'(x₀)
• (f₀ - g₀)' = f'(x₀) - g'(x₀)

In particolare si deduce l'uguaglianza (k₀f₀)' = k₀ f'(x₀).

(f₀g₀)' = f(x₀)g'(x₀) + f'(x₀)g(x₀).

(^f₀/_g0)' = ^{f'(x₀)g(x₀) - f(x₀)g'(x₀)}/_(g(x0))².

Dimostrazione: Con le definizioni di derivate

lim _x→x0 (^{f₀(x) - f₀(x₀)}/_{x - x}) = f'(x₀) + (x - x₀)² x² → f'(x₀)

lim ^{x→x₀ f₀(x) - f₀(x₀) - f'(x₀) (x - x₀)}/_{x - x0} = f'(x₀)

Analogo k₀ - g(x) lim.

lim ^{h→0 f(x₀ + h) - f₀(x₀)}/_h = (g*h+g→g*x) = f₀(x₀) = sin(x)

lim ^{x→x₀ f(x) - f(x₀) - f'(x₀)(x - x₀)}/_{x - x0} = f'(x₀)cos(2x) - 1 con x→x₀ = cos(2x) = x + y₀(x)