Derivate, Teoremi sulle derivate, concavità e convessità, studio delle funzioni - Analisi 1

Indice documento

• Derivate
• Derivabilità
• Derivabilità e continuità
• Derivate elementari
• Derivate composte
• Punti stazionari
• Asintoti
• Punti di non derivabilità
• Teorema di Fermat
• Teorema di Rolle
• Teorema di Cauchy
• Teorema di Lagrange
• Monotonia
• Derivazione delle funzioni composte
• Derivazione delle funzioni inverse
• Teorema di De L'Hopital
• Convessità e concavità
• Proprietà funzioni convesse e concave
• Punti di flesso
• Schema studio funzioni

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• Derivate
• Derivabilità
• Derivabilità e continuità
• Derivate elementari
• Derivate composte
• Punti stazionari
• Asintoti
• Punti di non derivabilità
• Teorema di Fermat
• Teorema di Rolle
• Teorema di Cauchy
• Teorema di Lagrange
• Monotonia
• Derivazione delle funzioni composte
• Derivazione delle funzioni inverse
• Teorema di De L'Hopital
• Convessità e concavità
• Proprietà funzioni convesse e concave
• Punti di flesso
• Schema studio funzioni

Derivate

Consideriamo f: I Imito la funzione. Def: Diciamo che f è derivabile in x₀ se il limite (o lim x e...) del rapporto incrementale a questo punto è uguale alla sua derivata in x₀.

Equazione della retta tangente

y = F'(x₀) = F'(x₀)(x-x₀)

y-y₀ = m(x-x₀)

Il rapporto incrementale si può esprimere pure così:

Derivabilità in un intervallo

Sia F:(a,b) ⊆ R. Diciamo che F è derivabile in (a,b) se è derivabile in ogni punto di (a,b).

In queste ipotesi diciamo che esiste la funzione F':(a,b) ⊆ R tale che ogni x appartenente ad (a,b) assegna il punto derivabile F'(x) ∈ R.

In simboli, F:(a,b) ⊆ R tale che F:(a,b) ⊆ R e che ∀ x, F'(x) ∈ R.

Derivabilità in un punto

Sia F:(a,b) ⊆ R x₀ ∈ (a,b).

Diciamo che F è derivabile dalla destra se ∃ finito lim _x->x₀⁺ F(x) - F(x₀) ----------------------- = F'(x₀) x - x₀

Analogamente, diciamo che F è derivabile dalla sinistra se ∃ finito lim _x->x₀^- F(x) - F(x₀) ----------------------- = F'(x₀) x - x₀

Quindi F è derivabile in x₀ se e solo se.........∃ i limiti finiti e uguali .....(vedi figura)

Derivabilità agli estremi

Sia F:[a,b] -> R è derivabile in ω se ∃ .... (vedi figura)

Analogamente è derivabile in β se ∃ .... (vedi figura)

Esempio

f(x) = |x| x ∈ R

F(x)= { x x > 0 { -x x _{∴ { x₀ > 0 x₀} ....... (vedi figura) .......lim _{x -> x₀⁺} ........

Se _Xx_o, _xo, X≠x_o|x| - |x_o| = ^{x - x_o}/_{X - xo} - ^{x + x_o}/_{X - xo} = ¹/_{X - xo} lim _x→xoX - x_o = f(x) = ¹/_{X - xo}

Se _X x=0|x| - |x_o| ^{x| - 0 = _{|x| - 1}} X=0, ^{|x| - 0 = _x}

In questo caso il limite della destra e della sinistra sono diversi. Non esiste il limite, non è derivabile in x_o=0.

Questa funzione è continua in IR ma non è derivabile in tutto R.

Teorema derivabilità implica continuità

(Non vale il viceversa) vedi esempio precedente.

Sia f: [a;b] IR x_o [a;b]. Se f è derivabile in X_o F_x continuo in X_o.

Dimostrazione

Fissiamo X [a ; b] F.

Se x x_o si ha F(x) - F_o = ^{F'(x) - F(x_o)}/_{x - xo} moltiplichiamo e dividiamo per (x - x_o).

Quindi lim_x→xo F(x)_{x - xo} = ^F(x)_o, x→x_o(X) = ⁰ = ⁰lim F(x) = F(x) => f è continuo in x_o.

Derivate successive

Supponiamo F: [a;b]→ J_b IR F_o derivabile due volte in x_o se lim F'(x) - F(x)_o

Derivate elementari

Funzione costante
f(x) = k    f'(x) = 0

Funzione potenza
f(x) = xⁿ    f'(x) = n x^n-1

In particolare
f(x) = x    f'(x) = 1
f(x) = 1/x    f'(x) = - 1/x²
f(x) = √x    f'(x) = 1/2√x
f(x) = n√x    f'(x) = 1/n x^1/n-1

Funzioni goniometriche
f(x) = sen x    f'(x) = cos x
f(x) = cos x    f'(x) = -sen x