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Discutere la derivabilità della seguente funzione definita su tutto R

f(x) = |x| arctan(|x|).

Soluzione

La funzione data ammette derivata in tutto R, come si vede facilmente dal grafico:

L'unico punto che potrebbe dar fastidio è x = 0. Dimostriamo che x = 0 è un punto di derivabilità per f. Infatti

f'+(0) = limh -> 0+ (h arctan h) / h = 0

e

f'-(0) = limh -> 0- (-h arctan(-h)) / h = 0.

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