Corso zero matematica - Parte 4

Sistemi di equazioni a più variabili

x, y (variabili)

• Ex + by = c
• Ex + by = c

Il sistema indica che stiamo cercando le soluzioni comuni delle due equazioni.

Il sistema ha soluzioni? Ci sono sistemi che non hanno soluzioni e si dicono impossibili.

Esempio

• X + y = 1
• X + y = 2

Impossibile. Hanno gli stessi coefficienti (1 + 1 e 1 + 1).

Perché sono due informazioni contraddittorie motivo per cui non posso proseguire.

Sistemi di equazioni a più variabili

x, y (variabili)

• Ex + by = c
• Ex + by = c

Il sistema indica che stiamo cercando le soluzioni comuni delle due equazioni.

Il sistema ha soluzioni? Ci sono sistemi che non hanno soluzioni e si dicono impossibili.

Esempio

• X + y = 1
• X + y = 2

Impossibile - Hanno gli stessi coefficienti (1 + 1 e 1 + 1).

Perché sono due informazioni contraddittorie motivo per cui non posso proseguire.

Kramer

• Ex + by = c
• Ex + b’y = c’

Kramer dice che per risolvere questo sistema devo fornire un valore a x e uno a y.

X = |e, c e’, c’| ---------------------------------------- , Y = |e, b| |e, c| |e’, b’| |e’, c’| ⬇ ------------------------------------------ |e, b| |e’, b’| ⬇

Determinante del 2° ordine ⎡ mettere il determinante che ⎣ si ottiene sostituendo alle colonne dei coefficienti delle x i termini noti! ⎡ invece in b sostituisco termini noti e lascio i coeff. delle x.

|e, x b| |e’, x b’| = e’b - e b’

e b - e’ b = 0 quando -------------------------------- le coppie dei coeff. delle 2° eq devono essere proporzionali alle 1° eq dalla pari non si può applicare Kramer perché i determinanti saranno zero quindi il sistema non ha soluzioni!!

Esempio 2

• X + y = 1
• 2x + 2y = 2

{y = 1 - x}

Ogni valore di x avrà un valore di y.

Si può applicare Kramer? Il determinante dei coeff. è ≠ 0?

|1 1| |2 -2| = 2 - 2 = 0

Non si può applicare Kramer.

Infatti, se moltiplichiamo la 1^a equazione il 2^o membro per 2 ottieni: l'equivalente della 2^a equazione viceversa se divido, per 2 la seconda ottieni la 1^a.

Quindi è come se dando le stesse informazioni per due volte posso eliminare 1.

Chiedersi allora se questo sistema ammette soluzioni è come chiedersi se una sola equazione ammette soluzioni.

Sì, sono infinite soluzioni!

Se il determinante è ≠ 0 il sistema ha 1 sola soluzione. Se è = 0 può non ammettere soluzioni o averne infinite.

Quando abbiamo più variabili che equazioni, probabilmente il sistema ammette infinite soluzioni!

Esempio

x + y - z = 1

2x + y + z = 0

De due equazioni posso ricavare due variabili: alle posizioni i coeff di x e y.

[1 1 -1] [2 1 1]

1 - 2 = -1 ≠ 0

Questo sistema si può risolvere rispetto le variabili x e y e assumiamo z come parametro cioè come quantità libera di vincoli (nelle teorie dei sistemi si chiamate incognite libere) che portano al z centro perché non le considero più incognite ma un parametro.

x + y = 1 + z

2x + y = -z

Adesso posso risolverlo rispetto x e y.

x + y = 1 + z

2x + y = -z

x = 1 + z     1-z        1 = x = \frac{1 + z - (-z)}{-1} = -1 + 2z

y = 1     1 + z 2       -z = -\frac{z - 2 (1 + z)}{-1} = -z - 2 - 2z = \frac{-3z -2}{-1} => y = 3z + 2

Le soluzioni sono le terne (-1 - 2z, 2 + 3z, z) per ogni z ∈ ℝ.

Ogni volta che assegno un valore a z, trovo una soluzione.

Sistema lineare significa di 1^o grado.

Un sistema può essere illimitato o impossibile.

Un sistema che ammette una sola soluzione è detto determinato.

Fine

Sistemi di equazioni a più variabili - Inizio eq. valore assoluto

Equazioni irrazionali

Introduzione

x ∈ ℝ ≥ 0

√_n x quel numero reale > 0 tale che elevato ad n de x

Esempi

Se x ∈ ℝ

√x² = |x|

perché sappiamo che x è un numero reale ma non