Teoria degli insiemi parte 1 ( corso zero matematica)

Teoria degli insiemi

Indichiamo gli insiemi con delle lettere generiche A, B e li rappresentiamo graficamente attraverso delle regioni del piano racchiuse da una linea chiusa e i loro elementi si possono pensare come dei puntini inseriti in queste.

Q ∈ A indica che un elemento sta in A.

Q ∉ A indica che un elemento non sta in A.

Un insieme senza elementi si dice insieme vuoto ∅ (es. l'insieme dei triangoli con 5 lati, non esiste).

A ⊆ B

Un insieme A è contenuto (incluso) in un insieme B.

Ogni elemento dell'insieme A si trova nell'insieme B, si utilizza questo simbolo.

Teoria degli insiemi

Indichiamo gli insiemi con delle lettere generiche A, B e la rappresentiamo graficamente attraverso delle regioni di piano racchiuse da una linea chiusa e i suoi elementi si possono pensare come dei punti inseriti in queste regioni.

Q ∈ A indica che un elemento sta in A.

Q ∉ A indica che un elemento non sta in A.

Un insieme senza elementi si dice insieme vuoto. ∅ (es. l'insieme dei triangoli con 5 lati, non esiste).

A ⊆ B

Un insieme A è contenuto in un insieme B.

Ogni elemento dell’insieme A si trova nell’insieme B, si utilizza questo simbolo.

∀ q ∈ A ⇒ q ∈ B

Per ogni elemento di A segue che A si trova in B.

Quindi A è sottoinsieme di B.

Operazioni di intersezione

Se A e B sono insiemi,

A ∩ B = { x ∈ A, x ∈ B }

A intersezione B è formato da tutti gli elementi x che stanno sia in A che in B.

Le virgole si indicano "e" ma si dovrebbe mettere le righe sopra, anziché le virgole.

È formato da tutti gli elementi che si trovano nelle regione.

Operazione di unione

A ∪ B = { x | x ∈ A oppure x ∈ B }

A unione di B formato da tutti gli elementi x tali che x appartiene ad A oppure x appartiene a B. Oppure vuol dire che x deve stare in A o in B o in entrambi.

L'unione sarà rappresentata da tutti gli elementi che x trovano sia in A che in B.

Proprietà fondamentali di cui godono queste due operazioni:

• A ∩ ∅ = ∅
• A ∩ B = B ∩ A proprietà commutative
• A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C proprietà associative
• A ∩ A = A
• Se B ⊆ A => B ∩ A = B

Unione

• A ∪ ∅ = A
• A ∪ B = B ∪ A comm.
• (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) ass.
• A ∪ A = A
• A ⊆ B ⊆ A ⇒ A ∪ B = A

Operazione di differenza

Se A e B sono insiemi

A ∩ B

A ∖ B = {x ∈ A, x ∉ B}

A meno B è l'insieme formato dagli elementi x che si trovano in A ma non si trovano in B.

A ∖ B ≠ B ∖ A

Esempio

X = { x ∈ ℝ | x > -√2 }

Insieme X formato da tutti i numeri reali tali che x siano > -√2.

Y = { x ∈ ℝ | x Z = { x ∈ ℝ | 3,4 ≤ x Calcolare l'intersezione fra i tre insiemi:

X ∩ Y ∩ Z = { x ∈ ℝ | 3,4 ≤ x Rappresento i numeri su una retta

Calcolare

X \ (Y ∩ Z) = { -√2 7/2 }

Y ∩ Z = { 3,4 ≤ x Calcolare:

(X \ Y) ∪ (X \ Z)" = {x > 7/2} ∪ {-√2 quindi questi numeri sono già compresi in questi qui, quindi posso non considerarlo.

Allora:

X \ (Y ∩ Z) e (X \ Y) ∪ (X \ Z) sono lo stesso insieme.

X \ (Y ∩ Z) = (X \ Y) ∪ (X \ Z)

1^a legge di De Morgan

X \ (Y ∪ Z) = (X \ Y) ∩ (X \ Z)

2^a legge di De Morgan

Problema

Supponiamo che gli iscritti del primo anno dei corsi di laurea in matematica in Sicilia siano 220 studenti. Alla fine del primo anno il 70% degli studenti ha superato algebra. Il 40% ha superato analisi. Il 20% ha superato entrambe le materie.

Quanti studenti non hanno superato né algebra né analisi?

Ho bisogno di sapere ciò che sta al di fuori dei due insiemi.

70% di 220 = ^{70 • 220}/₁₀₀ = 154 algebra

40% di 220 = ^{40 • 220}/₁₀₀ = 88 analisi

20% di 220 = ^{20 • 220}/₁₀₀ = 44 entrambe

S \ (A ∪ B) = 220 - 198 = 22 (tutti gli studenti - (algebra ∪ analisi))

A ∪ B = 154 + 88 - 44 = 198 perché li trovo più volte in A che in B.

Studenti che non hanno superato nessuna delle due.

Prodotto cartesiano

Se A e B sono insiemi

A × B = { (a, b) | a ∈ A, b ∈ B }

Il prodotto cartesiano tra A e B è formato dalle coppie (a, b) piccole dove a, l’elemento piccolo, si trova nell’insieme A prende e b, l’elemento b piccolo, si trova nell’insieme B prende.

Nelle coppia conta l’ordine, a sta nel primo posto e b nel secondo.

Funzione tra insiemi

Siano A e B insiemi:

Una funzione tra insiemi A e B è una legge che ad ogni elemento di A associa uno ed uno solo elemento di B.

f: A → B

∀ x ∈ A ⇒ f(x) ∈ B

Per ogni elemento di A deve associare un elemento di B.

Esempio 1

E = { esseri umani }

D = { donne }

f: E → D

Ed ogni essere umano associo le proprie madri, se x ∈ E ⇒ f(x) = la madre di x.

Ogni essere umano ha una e una sola madre!

Sì, allora è una funzione.

Esempio 2

A = {auto}

E = {essere umano}

f: E > A

Ad ogni essere umano associo le proprie auto.

Non è vero che ad ogni elemento di E è associ uno ed uno solo elemento di A. È falso, non è una funzione!

g: A > E

Ad ogni auto associo il proprietario dell'auto.

È una funzione, ed ogni auto corrisponde uno ed uno solo proprietario.

Esempio 3

M = {madre}

E = {essere umano}

f: M > E

Ad ogni madre associo il proprio figlio.

Non è una funzione perché non corrisponde uno ed uno solo elemento.

f: ℝ → ℝ

f(x) = 1/x

Non è una funzione perché non è vero che a ogni numero reale corrisponde un numero reale; se do zero alla x sappiamo che non esiste, o meglio non è consentito.

ℝ^* = ℝ \ {0}

L'insieme di partenza si chiama dominio e l'insieme dove la funzione manda si chiama codominio.

f: ℝ^* → ℝ

f(x) = 1/x

Questa volta è una funzione, e ad ogni numero reale non nullo posso far corrispondere numero reale.

Quando si parla di funzioni reali, il dominio non è necessariamente tutto ℝ ma è un sottoinsieme di ℝ, in questo caso tutti i numeri reali escluso lo zero.