Corso zero matematica - p.2 (22 pagine, 2 parte)

Numeri naturali

Numeri naturali IN = {0, 1, 2, 3, 4, ...}.

Ogni numero ha il seguente ed ogni numero ha un suo precedente tranne lo zero.

IN +_somma

Somma

• A+b = b+a _commutativa
• (a+b)+c = a+(b+c) _associativa
• 0+a = a _{(lo zero è l’elemento neutro dell’addizione)}
• Legge di cancellazione: a+b = c+b ⇒ a = c

Prodotto

• A·b = b·a _comm.
• (a·b)·c = a·(b·c) _ass.
• 1·a = a _{(l’uno è l’elemento neutro della moltiplicazione)}
• Proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma: a·(b+c) = a·b + a·c
• Legge dell’annullamento del prodotto: a·b = 0 ⇒ a = 0 oppure b = 0

Numeri naturali

Numeri naturali IN = { 0, 1, 2, 3, 4, ... }.

Ogni numero ha il seguente ed ogni numero ha un suo precedente tranne lo zero.

IN +, ·

Somma

• A+b = b+a _commutativa
• (a+b)+c = a+(b+c) _associativa
• 0+a = a _{(lo zero è l'elemento neutro dell'addizione)}
• Legge di cancellazione ⇨ a+b = c+b ⇒ a=c ( b )

Prodotto

• A·b = b·a _comm.
• (a·b)·c = a·(b·c) _ass.
• 1·a = a _{(l'uno è l'elemento neutro della moltiplicazione)}
• Proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma: a·(b+c) = a·b + a·c
• Legge dell'annullamento del prodotto: a·b = 0 ⇒ a=0 oppure b=0

Ordinamento in ℕ

In ℕ c'è un ordinamento.

Somma ∀ x, y ∈ ℕ x ≤ y oppure y ≤ x ... ogni volta che prendo due elementi appartenenti ai numeri naturali devo poter dire quale dei due è minore o quale il secondo.

c ≤ b in ℕ significa che ∃ un numero naturale h ∈ ℕ: che sommato ad c dà b, c + h = b.

Prodotto: b divide e (ℕ* = ℕ \ {0}) se esiste q ∈ ℕ* : b · q = e quando b è un divisore di e questo dice che e è un multiplo di b.

Esempio sui divisori

Esempio: 6 | 18, 6 · 3 = 18.

5 | 7, 5, 7 ∈ ℕ* non esiste nessun numero naturale che moltiplicato per 5 mi dà 7.

e ∈ IN* N de divisori?

1 è divisore di e, perché esiste un numero naturale che moltiplicato per 1 ci dà e cioè e ed e qualit únque (esso n/e-).

e è divisore di e esiste un numero naturale che moltiplicato per e ci dà e cioè 1.

Qualunque numero naturale prendiamo e e se stesso sono divisori.

12 = 1, 2, 3, 4, 6, 12 divisori.

7 = 1, 7 divisori.

I numeri ammettono come divisori soltanto 1 e se stesso si chiamano numeri primi.

1 non è un numero primo perché s trato il sempre 1.

Teorema e fattorizzazione

Teorema: sì.

Qualunque numero naturale si può costruire come prodotto di numeri primi.

Fattorizzazione in fattori primi.

È divisibile per 2.

1750 | 2

875 | 5

175 | 5

35 | 5

7 | 7

1

Non è divisibile per 3 perché sommando le cifre ottengo 20 che non è divisibile per 3.

• Fattorizzo.
• Vedo quanti divisori ha ciascun numero primo.
• Li moltiplico.

1750 = 2 · 5³ · 7.

Chi dei due ha più divisori?

p^m = p₁ p² p³ ... p^m ha m + 1 divisori.

1750 = 2 · 5³ · 7.

2 div. · 4 div. · 2 div. = 16 divisori.

560 | 2

280 | 2

140 | 2

70 | 2

35 | 5

7 | 7

1

560 = 2⁴ · 5 · 7.

5 div. · 2 div. · 2 div. = 20 divisori.

560 ha più divisori di 1750.

Massimo comune divisore

e, b ∈ ℕ^* sono finiti.

Chi è il più grande dei divisori?

Un divisore in comune c’è l’hanno.

a = p₁^m₁p₂^m₂p_t^m_tq₁⁰q_r⁰

b = q₁^m₁q₂^m₂q₃^m₃p₁⁰p_t⁰

Posso moltiplicare per gli stessi numeri elevato allo zero che fa 1, in modo da avere gli stessi fattori per entrambi.

Esempio: 12, 20.

12 = 2²3¹5⁰

20 = 2²5¹3⁰

M.C.D. (a, b) = p₁^h₁...p_t^h_t

a = q₁ ... q₂ = p₁ ... p_t

b = p₁ ... p_βt

h_i = è il più piccolo dei due esponenti che appaiono in {α_i, β_i}.

MCD (1750, 1960) = 2 . 5 . 7 = 70.

1750 = 2 . 5³ . 7.

1960 = 2³ . 5 . 7².

Fra i tanti divisori in comune che hanno questi due numeri 70 è il più grande dei divisori comuni.

Minimo comune multiplo

e, b ∈ IN⁺.

Qual è il più piccolo dei multipli comuni?

Sono infiniti → e . b è multiplo di e e di b e se lo moltiplico per qualche numero naturale (escluso lo zero) ottengo sempre un multiplo.

e = p₁^α₁ . . . p₃^α₃

b = p₁^β₁ . . . p₃^β₃

Posso pensarlo uguali ma con esponenti differente per il teorema dell'aritmetica.

m.c.m. (e, b)= p₁^γ₁ . . .

t_j = massimo dei due esponenti {α_j, β_j}.

m.c.m. (1750, 1960) = 2³ . 5³ . 7².

1750 = 2 . 5³ . 7.

1960 = 2³ . 5 . 7.

Insieme degli interi relativi

Insieme degli interi relativi Z = { 0, ±1, ±2, ±3 ... }.

Definiamo le due operazioni +, .

Verifica le proprietà dei numeri naturali, ma si aggiunge:

∀ u ∈ Z ∃ ū ∈ Z t.c. u + ū = 0.

Per ogni intero relativo esiste un intero relativo tale che quando li sommo u + ū ottengo lo zero.

Per ogni numero intero relativo c'è il suo opposto (es. +7 - 7 = 0).

X +7 = 2 non ha soluzione in IN ma in Z sì.

x + 7 (-7) = 2 (-7)

x = -5

e, b ∈ Z

∃ h ∈ IN^* tale che e + h = b (le definizione e l'uso di IN).

Relazione d'ordine totale

Relazione d'ordine totale.

Esempio.

e, b ∈ ℤ

-1 ≤ e ≤ 7

3 < b ≤ 10

Qual è il più grande e il più piccolo valore che e-b può assumere?

↓

e + (-b)

↓

max

e - b ≤ 7 - 3

Devo sottrarre il numero più piccolo al numero più grande.

e - b ≤ 4

e - b < -1 - 10

e - b < -11

-11 < e - b ≤ 4

Il campo dei numeri razionali

Insieme dei numeri razionali.

Rappresentato dai numeri fratti rapporto tra due numeri interi relativi.

³/₅ = ¹⁸/₃₀

Due frazioni si dicono uguali quando il prodotto in croce è uguale.

3 · 30 = 18 · 5 => 90 = 90

^e/_b = ^c/_d quando e · d = c · b

^m/_m m ≠ 0

Lo zero non ha l'inverso non esiste un numero che moltiplicato per zero mi dà 1!!

^e/_b = ^{e · c}/_{b · c} moltiplica num. e den. per uno stesso numero le frazioni è uguale.

¹⁸/₃₀ = ³/₅ entrambi sono divisibili per 6.

e · b · c = b · e · c

Operazione di addizione in Q

Operazione di addizione in Q.

1) ^a/_b + ^c/_d = ^{a·d + b·c}/_b·d

Prodotto.

1) ^a/_b · ^c/_d = ^a·c/_b·d

25/12 + 30/18 evitare di risolverle così come l'operazione ci indica, cercare il m.c.m. dei denominatori.

12 = 2²·3

18 = 2·3²

m.c.m = 2²·3² = 36

Moltiplicando num e den per lo stesso numero non alteriamo le frazioni, dunque.

Il 12 diventa 36 moltiplicando per 3, il 18 per 2.

Quindi:

25/12 + 30/18 = ⁷⁵/₃₆ + ⁶⁰/₃₆ = ¹³⁵/₃₆ = ¹⁵/₄

Minimo comune denominatore.

Tutte frazioni sono divisibili per 3.

Tutti i numeri, escluso lo zero, hanno l'inverso!

O sono invertibili.

Continua.

È _marcate ≠0.

^e⁄_b^b⁄_e

È sempre ≠0, ha senso in quanto e ≠0.

e eb sono l’uno l’inverso dell’otto.

^e⁄_b x ^b⁄_e = e.b⁄b.e

Tutte le frazioni ^e⁄₁ si abbreviano in e.

Diventando un intero relativo.

^e⁄₁ = e

Tutte le equazioni di 1^o grado di questo tipo

ex = b

Hanno soluzione in Q.

Ordinamento in Q

Ordinamento in Q -⁵/₇ -¹⁰/₁₃ -¹/₃₀

Quando il denominatore è negativo puoi moltiplicare ambi i numeri per -1.

e colui del più grande degli altri due andato positivo.

^-5/₇ < ^-10/₁₃ < ^-1/₃₀ ord.|corretto

^-50/₉ < ⁹¹ > moltiplica ambi i numeri per -1 ottengo anche l'opp'.

Come definire l'ordine:

^a/_b ≤ ^c/_d ↔ e.d < b.c

c, b, d > 0

Forma decimale dei numeri razionali

Forma decimale dei numeri razionali.

789₈...interpreto questa frazione come la divisione...

789 : 8 = 98,625...

Sono due modi di scrivere un numero razionale...

No decimale periodico.

278₉...= 30,₈...

Lo scrivo così...

278 : 9 = 30,88......ottengo sempre 8...

98745= 21,₉₃

Ogni numero razionale (...), come frazione è esprimibile sotto forma di un numero decimale che consiste in una parte intera una virgola ed una parte dopo le virgole finita o ad un certo momento diventa periodica ed è sempre un numero razionale.

Come trasformare il numero razionale decimale in frazione

• 98,625 = = 986257898 tanti zeri quanti sono i numeri dopo la virgola.
• 30,₈ (numero - il periodico) - il precedente cioè i numeri che precedono il periodo tanti 9 quanti sono le cifre periodiche.
• 21,₉₃ = 2193 - 21990 = 98745 tanti 9 quanti sono le cifre periodiche e tanti 0 quanti sono le cifre decimali.

Frazione ridotta ai minimi termini

X² = 1² + 1²

=> X² : 2

Dobbiamo trovare quel numero razionale (perché conosciamo questo insieme per il momento) che diviso il prodotto per 2.

X = ^m⁄_m

Numeratore e denominatore sono primi fra di loro.

M.C.D. ^m⁄_m = 1

Frazione ridotta ai minimi termini.

Quindi:

^m2⁄_m² = 2

=> m² = 2m²

Il fattore 2 in m² che esponente ha?

Supponiamo che

m² = 2^h

m² = 2^2h

Quindi nel primo membro il fattore 2 ha esponente pari.

Sul secondo membro

m = 2^tp_m

2m² = 2^2t+1

im² = 2m²

Questa equazione non potrà mai esistere perché da un lato avrei il 2 con esponente pari e dall'altro il 2 con esponente dispari.

Non esiste nessuna frazione che goda delle proprietà che avevamo elencato al quoziente volpe 2.

Non possiamo utilizzare i numeri razionali per esprimere le diagonali del quadrato!

Campo dei numeri reali

Campo dei numeri reali ℝ - mi permette di scrivere un numero decimale con infinite cifre dopo la virgola e non periodiche (e differente di in cui erano finiti o infinite ma periodiche).

Problema: media aritmetica

Problema.

Media aritmetica.

Supponiamo che un ragazzo abbia superato degli esami e se nel prossimo esame prenderà 30 avrà la media del 27 e invece prenderà 20 avrà la media del 25.

M = totalità degli esami sostenuti incluso quello da dare.

Q = la somma totale delle votazioni ottenute negli esami sostenuti.

^{Q + 30}/_m = 27

^{Q + 20}/_m = 25

Q + 30 = 27m

Q + 20 = 25m

Sottraiamo queste due equazioni.

Q + 30 - Q - 20 = 27m - 25m

10 = 2m

M = 5

Esami sostenuti.

Problema 2: medie ponderate

Problema 2.

Medie ponderate.

V_i sono 4 prove in itinere durante l'anno.

1^a prova

2^a prova

3^a prova

4^a prova

(de pesi) 1 2 3 4

24 25 20 x?

Quanto deve prendere nella 4^a prova, affinché la sua media ponderata sia 25?

Una media ponderata è una media aritmetica in cui si dà più peso ad alcune prove rispetto ad altre.

Come si fa la media ponderata?

Elementi e₁, e₂, ... e_p

Peso m₁, m₂, ... m_p

Somma dei prodotti di ogni singolo elemento con il suo corrispettivo peso.

Media ponderata (pesata) =

m₁.e₁ + m₂.e₂ + ... + m_p.e_p

m₁ + m₂ + ... m_p

Somma degli elementi.

Media ponderata =

24 + 50 + 60 + 4x = 25

10 => 134 + 4x = 2510 => 134 + 4x = 250 => 4x = 116

x = 29

(lo studente dovrà prendere 29 per avere una media del 25)

In una media aritmetica il peso (M) è uguale a 1.

Potenze

Potenze.

q·q = q² q ≠ 0

qⁿ ha l'inverso.

¹⁄_q⁵ = q^-5

¹⁄_q = q^-1

q = 1

(quel n che moltiplica col m si deve)

Non importa in quale insieme ci troviamo.

Proprietà delle potenze

Proprietà delle potenze.

q^m · qⁿ = q^m+n

(q^m)ⁿ = q^m·n

q^m⁄_qⁿ = q^m-n

Disuguaglianze

Disuguaglianze.

q^m > qⁿ

È vero che se m > n = > q^m > qⁿ

Esempio.

q = ¹⁄₂ m = 3 n = 2

(¹⁄₂)³ > (¹⁄₂)² >

¹⁄₈ >¹⁄₄

4 > 8

Falso.

Dunque!

Se q > 1 ed m > n = > q^m > qⁿ

Se q < 1 ed m > n = > q^m < qⁿ

Teorema fondamentale dei radicali

Teorema fondamentale dei radicali.

Se e è un numero reale >0 ed m un intero m >1 esiste un unico numero reale positivo g tale che quando g^m = e.

Esempio 1.

⁵√7⁵ = 7

e è un numero reale tale che x lo elevo alla quinta potenza fa 7.

Esempio 2.

x² = 2

x = √2

e è un numero razionale. Che elevato al quadrato fanno 2, non c’è mai m!

Ma esiste per il teorema un unico numero reale positivo che elevato al quadrato fa 2.

^m√e è un numero positivo, che quando lo elevo ad m mi da e.

^m√e = e^1/m = (e^1/m)^m = ^m√e^m

Esempi

Esempi.

3^2*1 / 3^2*3 = 3^2-3 = 3^-1

3^1/2*1 / 3^1/2*3 = 3^1/2-3/2 = 3^-1

3^3/2*1/2 = 3^3*1/2 / 3^1/2 = 3^-1

^3√-8 = -^3√8

Per il teorema fondamentale ipotizziamo.

E ∈ B^*

Exist un numero reale tale che elevato ad m dia e?

√e

• Se e > 0 ed m è dispari: √e.
• Se e > 0 ed m è pari: {2 √e} es. +5 e -5.
• Se e < 0 ed m è dispari: {@1 -√e}.
• Se e < 0 ed m è pari: non √ alcun numero reale.